数列不等式等式问题的求解策略.doc

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1、数列不等式恒等式问题的求解策略不等式的恒成立问题是高考的一个热点问题，是学生较难理解和掌握的一个难点，以数列为载体的不等式恒成立问题的档次更高，综合性更强，2010年的高考，有几个省市考到这一知识点。数列中的恒成立问题实质上是函数的恒成立问题，因为数列是一类特殊的函数，但有数列自身独有的特性，二者的求解策略极其相似。下面就这一问题谈谈其求解策略。一转化为二次函数的恒成立（实根分布）问题求解策略例1在数列｛an｝中，a1=1,an+1=can+cn+1(2n+1)(nN*)其中实数c≠0.（Ⅰ）求｛an｝的通项公式；（Ⅱ）若对一

2、切kN*有a2k＞22k-1，求的取值范围.解析：（Ⅱ）问：题意为后面的偶数项恒大于前面的奇数项，（后面项恒大于前面的项）不同于数列的单调性，但通过数列的通项公式转换为二次函数的恒成立问题求解，必须注意自变量n的取值范围。解(II)由（1）知an=n2-1+由a2k＞a2k-1，得4(c2-c)k2+4ck-c2+c-1＞0对恒成立.记f(x)=4(c2-c)x2+4cx-c2+c-1，下分三种情况讨论.（I）当c2-c=0即c=0或c=1时，代入验证可知只有c=1满足要求.（II）当时，抛物线开口向下，因此当正整数充分大时，

3、不符合题意，此时无解.（ⅲ）当c2-c＞0即c＞0或c＞1时，抛物线开口向上，其对称轴必在直线的左边.因此，在上是增函数.所以要使对恒成立，只需即可.由f(1)=3c2+c-1＞0解得c＜或c＞结合c＜0或c＞1得c＜或c＞1综合以上三种情况，c的取值（-∞，-）∪二转化为重要不等式求最值的求解策略例设各项均为正数的速列｛an｝的前n项和为Sn,已知2a2=a1+a3,求数列是公差为d的等差数列。(1)求数列｛an｝的通项公式（用n，d表示）。(2)设c为实数，对满足m+n=3k且m≠n的任意正整数m,n,k,不等式Sm+Sn

4、＞Sk都成立，求证：c的最大值为解析（2）中的恒成立问题，含有多个参数，通过分离常数，转化为不等式的最值问题求解，必须注意由重要不等式求最值的一正二定三相等原则。解析由（1）知an=(2n-1)d2Sm=m2d2Sn=n2d2Sk=k2d2Sm+Sn>cSkm2d2+n2d2ck2分离常数有：c＜+=()2+()2对m+n=3k且m≠n的任意正整数m、n、k恒成立而()2+()2≥取等号条件为=即m=n不满足m≠n的条件故()2+()2＜由恒成立条件有C≤故C的最大值为三分类讨论的求解策略例（2008年

5、湖北）：已知数列{an}和{bn}满：足a1=λ,an+1=an+n-4,bn=(-1)n(an-3n+21),其中λ为实数，n为正整数.（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{an}不是等比数列；（Ⅱ）试判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；（Ⅲ）设0＜a＜b,Sn为数列{bn}的前n项和.是否存在实数λ，使得对任意正整数n，都有a＜Sn＜b?若存在，求λ的取值范围；若不存在，说明理由.解析：对（III）是存在型问题，首先分看常数入，转化为对n的恒函数恒成立问题，在求最值时，该对n的奇偶性进行讨论，最后还必须对这向德端点进行

6、讨要使a3a存在实数λ，使得对任意正整数n,都有a

7、an

8、是首项为正且公比是q(q＞-1且q≠0)的灯比数例，设数列{bn}{bn}的通项bn=an+1-kan+2(n∈N*

9、)数列{an}、{bn}的前项和分别为Sn、Tn，如果Tn＞KSn对一切正整数n都成立，求实数k的取值范围。解析：本提的解题技巧主要有：应用简单的分类讨论可知Sn＞0恒成立，不求Sn,Tn的具体表达式，利用得出其相互关系整体代换，如求Sn,Tn的表达式，则需对q和q-qk2是否等于1进行讨论，给学生的解题带来困难。解：由题可得an+1=anqan+2=anq2、从而bn=an+1－kan+2=an(q-kq2),Tn=b1+b2+……+bn=(a1+a2+……+an)(q-kq2)=Sn(q-qk2)。由Tn﹥ksn得Sn(q

10、-kq2)﹥kSn对一切正整数n都成立。当q＞0时，由a1＞0an＞0Sn＞0;当-1＜q＜0时，由a1＞0、1-q＞0和1-qn＞0Sn=综合上述两种情况，当q＞-1时，有Sn＞0恒成立。由①可得q-kq2＞k②即k·(1+q2)＜q·k＜=恒成立、由于

11、q+

12、≥2,故要使