含参不等式成立问题的求解策略.doc

《含参不等式成立问题的求解策略.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、含参不等式恒成立问题的求解策略授课人：李毅军“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。现就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。一、最值法一般的，若函数f(x)在定义域为D，则当x∈D时，有f(x)≥M恒成立f(x)min≥M；f(x)≤M恒成立f(x)max≤M。因而，含参数不等式的恒成立问题常根据不等式

2、的结构特征，恰当地构造函数，等价转化为含参数的函数的最值讨论。例1：已知a＞0，函数f(x)=ax－bx2，当b＞1时，证明：对任意x∈[0，1]，

3、f(x)

4、≤1的充要条件是b－1≤a≤2。二、分离参数法例2：设f(x)=lg，其中a是实数，n是任意给定的自然数且n≥2，若f(x)当x∈时有意义，求a的取值范围。一般地，利用最值分离参数法来确定不等式f(x，)≥0，（x∈D为实参数）恒成立中参数取值范围的基本步骤：（1）将参数与变量分离，即化为f1()≥f2(x)（或f2()≤f2(x)）的形式；（2）求f2(x)在x∈D时的最大（或最小）值；（3）解不等式f1()≥f2ma

5、x(x)（或≤f2min(x)）得的取值范围。练习1：已知定义在R上函数f(x)为奇函数，且在上是增函数，对于任意x∈R求实数m范围，使f(cos2－3)+f(4m－2mcos)＞0恒成立。练习2：设0＜a≤，若满足不等式

6、x－a

7、＜b的一切实数x，亦满足不等式

8、x－a2

9、＜，求正实数b的取值范围。练习3：已知向量=(x2，x+1)，=(1－x，t)。若函数f(x)=·在区间（－1，1）上是增函数，求t的取值范围。三、数形结合数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立的问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等

10、式有着密切的联系：1．f(x)＞g(x)函数f(x)图象恒在函数g(x)图象上方；2．f(x)＜g(x)函数f(x)图象恒在函数g(x)图象下方。例3：若不等式3x2－logax＜0在x∈内恒成立，求实数a的取值范围。练习：设f(x)=，g(x)=x+1－a，若恒有f(x)≤g(x)成立，求实数a的取值范围。四、主参换位法某些含参不等式恒成立问题，在分离参数会遇到讨论的麻烦或者即使能容易分离出参数与变量，但函数的最值却难以求出时，可考虑变换思维角度。即把变元与参数换个位置，再结合其它知识，往往会取得出奇制胜的效果。例4：若对于任意a∈，函数f(x)=x2(a－4)x+4－2a的

11、值恒大于0，求x的取值范围。五、利用集合与集合间的关系在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求解，即：[m，n][f(a)，g(a)]，则f(a)≤m且g(a)≥n，不等式的解即为实数a的取值范围。例5：当x∈时，

12、logax

13、＜1恒成立，求实数a的取值范围。六、课后练习1．已知函数f(x)=lg，若对任意x∈恒有f(x)＞0，试确定a的取值范围。2．若(x，y)满足方程x2+(y－1)2=1，不等式x+y+c≥0恒成立，求实数c的取值范围。3．若不等式≤e对任意的n∈N*都成立，其中e是自然对数的底数，求的最大值。4．定义在R上的单调

14、函数f(x)满足f(3)=log23且对任意x，y∈R都有f(x+y)=f(x)+f(y)，（1）求证f(x)为奇函数；（2）若f(k·3x)+f(3x－9x－2)＜0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围。