不等式恒成问题的求解策略.doc

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1、不等式恒成立问题的求解策略内容摘要：不等式恒成立问题从多个角度考查考生的素质和能力，在培养学生思维的灵活性、创造性等方面也起到了积极的作用，故备受命题专家青睐.近年来在江苏高考及各市模拟试题中更是屡见不鲜（07年第10题，08年第14题，10年第19题）．关键词：不等式化归与转化数形结合恒成立一题多解正文：新课程改革开始，出现了众多注重能力考查的新颖试题，不等式恒成立问题便是其中一种题型，此类问题由于题型多样（与集合，函数，不等式，数列，三角，几何，导数，向量等结合起来），有利于从多个角度考查考生的素质和能力，在培养学生思维的灵活性、创造性等方面也起到

2、了积极的作用，故备受命题专家青睐.近年来在江苏高考及各市模拟试题中更是屡见不鲜（2007年第10题，2008年第14题，2010年第19题）．不等式恒成立问题中参数取值范围的确定，学生往往找不着思路，无从下手，得分偏低。下面结合在高三复习中遇到的问题，解决这类问题的方法往往很多，但都离不开基本的数学思想方法，下面从数学思想方法角度来解决不等式恒成立问题：一、化归与转换型：化归与转换的思想，就是在研究和解决数学问题时采用某种方式，借助某种函数性质、图象、公式或已知条件将问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的思想.等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为

3、简单、未知转化为已知，通过变换迅速而合理的寻找和选择问题解决的途径和方法.等价转化是解决不等式恒成立问题最为常见的方法。1、转换成主元法（一次函数）：处理含参不等式恒成立的某些问题，已知参数变量的范围，若能实时的把主元变量和参数变量进行换位，转化成一次函数，问题往往容易得到解决。【例1】当时关于x不等式恒成立，求实数x的取值范围。解析：在不等式中出现两字母x,p,关键是该把哪个字母看成变量，另一个看成常数，显然可将p看成变量，问题化归为内关于p的一次函数问题处理解：原不等式设是关于p的一次函数则，即x的取值范围【点评】：处理含参不等式恒成立的某些问题，

4、构造以该参数为自变量的函数，利用函数图象求另一参数的取值范围，往往能使问题降次、简化。若在[m,n]内恒有，则有，同理若在[m,n]内恒有，则有。2、转换成二次函数问题：构造二次函数，结合二次函数利用实根分布等知识求出参数的范围：⑴（判别式法）若恒成立，则有；若恒成立，则有；【例2】已知函数的定义域为R，求实数a的取值范围。解：由题设可将问题转化为不等式对一切实数恒成立，即有解得或所以a的取值范围为【点评】：要注意二次函数的开口方向，不能忽略不计。⑵若是二次函数在指定区间上恒成立问题，还可以利用韦达定理及实根分布等知识来解决【例3】已知，若恒成立，求a

5、的取值范围.解析：考虑f(x)的零点分布情况进行分类讨论，分无零点、零点在区间的左侧、零点在区间的右侧三种情况，即Δ≤0或或，即a的取值范围为[-7，2].【例4】若不等式对于一切x成立，求a的取值范围。解析：转化成为二次函数中的动对称轴与定区间的问题，再对其展开分类讨论解：（法一）设，则其对称轴为当，即，则在是单调减函数，应有，即当，即，则在是单调增函数，应有恒成立，即；当，即，则恒成立，故综上所述，【点评】：对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大于等于零的问题,可以考虑根与系数分布分布情况,要求对应闭区间上函数图象在x轴的上方或在x轴上就可以.3、分

6、离参数法：若等式或不等式中已知两个变量，其中一个变量的范围，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别至于等号或不等式的两边，将恒成立问题转化为函数的最值，一般地将题目中参数分离出来，化归成a>f(x)（或者a（或者a<），求出参数的范围。【例4】解法2解：原不等式可化为，设，则故当时，，则在上为单调递增函数故所以。【例5】已知，若恒成立，求a的取值范围.解析：本题可以化归为求函数f(x)在闭区间上的最值问题,只要对于任意.解：若恒成立或或，即a的取值范围为.【点评】：对于含参数的函数在闭区间上函数值恒大

7、于等于或小于等于常数问题,可以求函数最值的方法,只要利用恒成立；恒成立.例4的解法二要比解法一思路更清晰，操作性更强，例5也可以用零点分布策略求解.一、分类讨论型分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，就需要对研究对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答。【例6】不等式对一切实数x都成立，求实数m的取值范围解析：若恒成立，则优先考虑a是否为0，然后按照.解：①当=0，即=2时，不等式化解为-4<0,这对于任意都成立②时，此时为一元二次不等式，由于解集为R，则对应的二次函数开口向下，且与x

8、轴无交点，必有，解得综上所述，m的取值范围。【点评】：注意二次函数的二次项系数是否为0，特别看