数列综合题类.doc

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1、数列综合题分类一、有关难题1、1.数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列.(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)设数列的前项和为，且，求证:对任意实数（是常数，＝2.71828）和任意正整数，总有2；(Ⅲ)正数数列中，.求数列中的最大项.（Ⅰ）解：对于，总有①成立∴（n≥2）②①--②得∴∵均为正数，∴（n≥2）∴数列是公差为1的等差数列又n=1时，，解得=1∴.()说明：一般对于给定之间关系，通过（n）来进行转换。类似习题我们在班上讲的很多，请同学们自己学会总结。（Ⅱ）证明：∵对任意实数和任意正整数n，总有≤.∴说明：放缩不等式在新教材中特别是文科已有删减，要求也有所降低，

2、本题第二问对于学生来讲属较难题，讲解时应根据情况，文科最好不讲。(Ⅲ)解：由已知，易得　猜想n≥2时，是递减数列.令∵当∴在内为单调递减函数.由.∴n≥2时,是递减数列.即是递减数列.又,∴数列中的最大项为.说明：构造函数是解决本题关键，而这种函数应用在平时常常遇见，09年4月初高二月考文科有一道选择题比较：的大小，学生对这一类题目不会构造函数，因而出现很多学生不知所云，得分率极低。2．设f1(x)=，定义fn+1(x)=f1［fn(x)］，an=（n∈N*）.(1)求数列｛an｝的通项公式；(2)若，Qn=（n∈N*），试比较9T2n与Qn的大小，并说明理由.解：（1）∵f1(0)=

3、2，a1==，fn+1(0)=f1［fn(0)］=,∴an+1====-=-an.∴数列｛an｝是首项为,公比为-的等比数列，∴an=()n-1.说明：利用函数关系求数列的通项公式是数列中常用方法之一，本题是数列与抽象函数的经典结合，同学们要细心品味其中韵味。（2）∵T2n=a1+2a2+3a3+…+(2n-1)a2n-1+2na2n，∴T2n=(-a1)+(-)2a2+(-)3a3+…+(-)(2n-1)a2n－1+2na2n=a2+2a3+…+(2n－1)a2n－na2n.两式相减，得T2n=a1+a2+a3+…+a2n+na2n.∴T2n=+n×(-)2n-1=-(-)2n+(-

4、)2n-1.T2n=-(-)2n+(-)2n-1=(1-).∴9T2n=1-.又Qn=1-，当n=1时，22n=4,(2n+1)2=9,∴9T2n＜Qn；当n=2时，22n=16,(2n+1)2=25,∴9T2n＜Qn；当n≥3时，，∴9T2n＞Qn.说明：等差等比数列的复合是求和题型中常见形式，同学们在掌握其常用错位相减方法同时，还要对字母是否为1进行必要讨论，防止出现不必要的错误！第三问中的二项式定理展开对于文科学生可不必掌握。3、已知，且，数列的前项和为，它满足条件.数列中，·.（1）求数列的前项和；（2）若对一切都有，求的取值范围.解：（1），∴当时，.当≥2时，=，∴此时··

5、=·，∴……=……+设……+，∴……，∴∴·　　说明：复合数列求和这里又一次应用。（2）由可得①当时，由，可得∴对一切都成立，∴此时的解为.　②当时，由可得≥∴对一切都成立，∴此时的解为.由①，②可知对一切，都有的的取值范围是或.　说明：恒成立问题是函数中难点之一，同学们解这一类题目时要细心分析。4、已知函数（）。（Ⅰ）若且，则称为的实不动点，求的实不动点；（II）在数列中，，（），求数列的通项公式。解：（Ⅰ）由及得或（舍去），所以或，即的实不动点为或；（II）由条件得，从而有，由此及知：数列是首项为，公比为的等比数列，故有（）。说明：等比定理（合比定理）应用是在这里得到是等比定理的重

6、要方法，数学联想在这里起到了重要作用。一、有关中等题1、对正整数n，设曲线处的切线与y轴交点的纵坐标为的前项和是___________.解析的斜率为变题，2、设数列，则=________.解析说明：数学构造新数列的方法同学们一定要掌握，这一方法在新课标中显得尤其重要！变式：3、数列（1）求证：数列是等比数列；（2）设数列的公比为求数列的前n项和Bn.解析（1）（2）由（1）得4、已知为锐角，且，函数，数列{an}的首项.⑴求函数的表达式；⑵求证：；⑶求证：解析⑴又∵为锐角∴∴⑵∵∴都大于0∴∴⑶∴∴∵,,又∵∴∴∴