数列综合题常见题型分析报告.doc

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1、......数列的综合题常见题型分析题型一：裂项相消法在求和中的应用例：[2013·江西卷]正项数列{an}的前n项和Sn满足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N*，都有Tn<.解：(1)由S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0.由于{an}是正项数列，所以Sn>0，Sn＝n2＋n.于是a1＝S1＝2，n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)

2、2－(n－1)＝2n.综上，数列{an}的通项为an＝2n.(2)证明：由于an＝2n，bn＝，则bn＝＝.Tn＝＝<＝.训练：1、(2011·新课标全国)等比数列{an}的各项均为正数，且2a1＋3a2＝1，a＝9a2a6.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列的前n项和．解：(1)设数列{an}的公比为q.由a＝9a2a6得a＝9a，所以q2＝.由条件知q＞0，故q＝.由2a1＋3a2＝1，得2a1＋3a1q＝1，所以a1＝.故数列{an}的通项公

3、式为an＝.(2)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－.故＝－＝－2.＋＋…＋＝－2＝－.所以数列的前n项和为－.题后反思：本题主要考查等比数列的通项公式、数列求和及对数运算．考查灵活运用基本知识解决问题的能力、运算求解能力和创新思维能力．对于通项公式学习好帮手......，可以利用基本量求出首项和公比；对于数列求和，可通过对数运算求出bn，然后利用裂项求和．考点总结：使用裂项求和时，要注意正负项相消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项是前后对称

4、的，这特点实质上造成正负相消是此法的根源与目的。变式练习：1.数列{an}的各项均为正数Sn为其前n项和，对于任意的n∈N*满足关系式2Sn＝3an－3.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{bn}的通项公式是bn＝，前n项和为Tn，求证：对于任意的正数n，总有Tn＜1.(1)解　由已知得(n≥2)．故2(Sn－Sn－1)＝2an＝3an－3an－1，即an＝3an－1(n≥2)．故数列{an}为等比数列，且公比q＝3.又当n＝1时，2a1＝3a1－3，∴a1＝3，∴an＝3n.(2)证明　∵bn＝＝－

5、.∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋…＋＝1－＜1.2.[2013·广东]设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn＝a－4n－1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．(1)证明：a2＝；(2)求数列{an}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<.解析：(1)∵4a1＝a－4－1＝a－5，∴a＝4a1＋5.又a2>0，∴a2＝.(2)由题设条件，当n≥2时，4an＝4(Sn－Sn－1)＝(a－4n－1)－[a－4(n－1)－1]＝a－a－4，整理得(an＋1－an－2)(an

6、＋1＋an＋2)＝0.注意到an>0得an＋1－an＝2，n≥2.∵a2，a5，a14成等比数列，∴a＝(a2＋6)2＝a2(a2＋24)．解得a2＝3，∴an＝3＋2(n－2)＝2n－1，n≥2.又由(1)得a1＝1，故对一切正整数n，有an＝2n－1.(3)＋＋…＋＝＋＋…＋＝＝<.3.在数列中，，并且对于任意n∈N*，都有．（1）证明数列为等差数列，并求的通项公式；学习好帮手......（2）设数列的前n项和为，求使得的最小正整数.解：(1)，因为，所以，∴数列是首项为1，公差为2的等差数列，………………

7、………………………4分∴，从而.………………6分(2)因为…………………8分所以………10分由，得，最小正整数为91.…………………12分4.已知公差大于零的等差数列{an}的前n项和Sn，且满足：a2·a4＝65，a1＋a5＝18.(1)若1

8、4＝65，∴a2，a4是方程x2－18x＋65＝0的两个根，又公差d>0，∴a2