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1、则b尸席(n+2)161n"_(n+2)2-1-事+*_*+•••+1(n-1)2L=训练：1_111+歹—(n+1)l(n+2)+?r数列的综合题常见题型分析题型一：裂项相消法在求和中的应用例:[2013•江西卷]正项数列｛%｝的前n项和Sn满足:S^-(n2+n-l)S„-(n2+n)=0.(1)求数列｛爲｝的通项公式如(2)令bn=，鷲爲2,数列｛bn｝的前n项和为Tn,证明:对(n+2)an5于任意的neN都有琢京.解：(1)由Sn—(n2+n—l)Sn—(n2+n)=0,得[S“一(n'+n)](S“+1)=0.由于｛aj是正项数列,所以Sn>0,S„=n2+n.
2、于是ai=Si=2,nN2时，an=Sn—Sn-i=n2+n—(n—l)2—(n—1)=2n.综上，数列｛缶｝的通项为an=2n.(2)证明：由于缶=2n,bn=~~,(n+2)ann+1111、(2011•新课标全国)等比数列｛②｝的各项均为正数,.几2曰1+3日2=1,云=9日2细⑴求数列&｝的通项公式;bn⑵设h=10g：Ml+10g3@log3&,求数列的前刃项和.解：(1)设数列&｝的公比为Q.由云=9日2日6得云=9应，所以扌=*由条件知Q>0,故由2句+3型=1,得2日1+3日4=1,所以0=*故数列&｝的通项公式为/=*.(2)方"=log3&+log3&2l
3、og3^=—(1+2/?)=—~—罕丄+-2n^+7*题后反思：木题主要考查等比数列的通项公式、数列求和及对数运算.考查灵活运用基木知识解决问题的能力、运算求解能力和创新思维能力.对于通项公式，可以利用基本量求出首项和公比；对于数列求和，可通过对数运算求出人，然后利用裂项求和.考点总结：使用裂项求和时，要注意正负项相消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项是前后对称的，这特点实质上造成正负相消是此法的根源与H的。变式练习：1.数列⑹的各项均为iE数$为其前〃项和，对于任意的/?eN*满足关系式2$=3②一3.（1）求数列｛加的通项公式；（2）设数列｛加
4、的通项公式是b产,前/7项和为10g3/•10g3&卄1Tn,求证：对于任意的正数〃，总有K＜1.（1）解由已知得(/7^2).故2（5?—S?_i）=2/=3$n—3臼”一1,即白”=3臼/?一1（/7$2）.故数列｛廟为等比数列，且公比＜7=3.又当刀=1时，2日）=3日1—3,・••日1=3,a„=y.（2）证明•:b”=“二TIT•n+免+…+g（i_｛i+（H）+…+g_尙=1_缶＜1・2.[2013•广东]设各项均为正数的数列UJ的前刀项和为S,满足4$=云+】一4刀一1,N*,且戲，釦如构成等比数列.（1）证明：创=如+5；⑵求数列｛/｝的通项公式：⑶证明：对一
5、切止整数刀，有丄+丄+••・+」一g.a、创日2日3厶解析：（1）=4—1=£一5,.•.£=4&+5.又孩＞0,.:及=屮曰1+5.（2）由题设条件,当心2时,4自“=4（$—$-1）—（£+1—4刀一1）—[£—4（〃一1）—1]=已：+】_垃_4,整理得（/+】一日“一2）（/+1+日”+2）=0.注意到禺＞0得如1—afl=2,2.*.*a＞,昂，為成等比数歹！J,.•・£=（逸+6尸=创（越+24）・解得臼2=3,・・・/=3+2（77—2）=2/7—1,心2.又由⑴得&=1,故对一切正整数/?,有禺=2刃一1.⑶士+±+…+佥=占+女+…+2/?-11277+1£
6、1W+A++…+右一^?)=£13.在数列｛%｝中，4=1,并且对于任意心,都有an+l=―」2a“+1（1）证明数列｛丄｝为等差数列，并求｛%｝的通项公式；5(2)设数列｛anan+i｝的前门项和为7；,求使得希的最小正整数兀・11⑴厂1，因为％严話，所以石一肩2,・•・数列｛丄｝是首项为1，公差为2的等差数列,5=2h-L从Hijan=2n一1.2n+110分(35<2n-l2n+1In+112分2.已知公差大于零的等差数列｛◎｝的前〃项和$,且满足:戲•越=65,越+念=18.(1)若1
7、/是否存在一个最小的常数刃使得以+厶+・・•+冰刃对于任意的正整数〃均成立，若存在，求出常数处若不存在，请说明理由.解⑴⑷为等差数列，丁臼i+选=/+/=18,ai+(7=5,日】+3〃=13,乂az•禺=65型，是方程^2—18^+65=0的两个根，乂公差Q0,••臼2〈禺，••边=5,0=13.••/.ai=l,d=..*.^=4/?—3.由于1<7<21,ai,乩,氏1是某等比数列的连续三项，・••日1•&i=占,即1•81=(47—3)',解得7=3..nZ7—12(2)由(1)知，Stl=
