高中数列综合题

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1、数列综合1、明确基本的问题和方法问题：如求通项（递推）、求和（积）、不等式方法：求通项（叠加、叠乘、…）、求和（裂项、错位相减、…）、不等式（做差比较、构造函数、数学归纳法、…）2、关注提示性的信息——方法的选择〖例1〗已知各项全不为零的数列的前项和为，且（），其中.（1）求数列的通项公式；（2）对任意给定的正整数（），数列满足（），.求.解析：（1）利用（2）在数列求和时，常考虑确定其通项.观察已知条件，选择“叠乘”，则易于求出通项.解：（1）当时，由及，得.当时，由，得.因为，所以.从而，，.综上，（）.（2）因为，所以.13.（）故.

2、〖例2〗数列中，，（为常数，）且.（1）求的值；（2）证明：（）；（3）比较与的大小，并加以证明.解析：（2）有递推关系——选择做差（3）化归为熟悉问题——求和：裂项；做差，问题实现了转化：探索与2和的关系.（1）解：依题意，，.由，得，解得，或（舍去）.（2）证明：，当且仅当时，.因为，所以,即（）.（3）解：由，可得，从而.13因为，所以.所以.由，经计算可得，，且由（2）得（）.下面用数学归纳法证明：对于任意，有成立.①当时，由，显然结论成立.②假设当时，.当时，因为，且函数在时单调递增，所以.即当时，不等式也成立。由①，②可知，对于

3、任意，有，亦即.所以，当时，；当时，；当时，由，得，故.13〖例3〗已知曲线（）.从点向曲线引斜率为（）的切线，切点为.（1）求数列与的通项公式；（2）证明：.解析：（1）分析一：将切线方程与圆的方程联立求解，即得到切点坐标.在这种方法中，需要求切线的方程.分析二：从图形（平面几何）出发，会得到比较简捷的解法.在这种方法中，需要特别重视数形结合思想的应用.（2）分析：数列与函数的结合——从问题出发构造所需：如何求？.解：（1）法一：设直线，与圆方程联立.消去，得.——（*）则，解得（舍去）.代回方程（*）解得.xyPOPnCnQn图1所以.

4、法二：如图1所示，过作轴于.则.圆，圆心，半径.由直线是切线可知.则中，，即.整理可得.又，即，整理得.13（2）证明：，.①因为，故数列是单调递增数列.所以.即.②令，.对给定区间有，所以函数在区间上单调递减.这样，当时有.而当时，，所以.亦即.〖例4〗已知数列中，，.（1）求的通项公式；（2）若数列中，，，证明：，.解析：（1）一种典型的递推公式：，其中，.（2）已知条件中的递推关系——选择数学归纳法.从结论出发——做差+分析法（做差后如何处理）.解：（1）由已知，，则，又，所以，数列是首项为，公比为的等比数列.13则，即的通项公式为，

5、.（2）用数学归纳法证明.（ⅰ）当时，因，，所以，结论成立.（ⅱ）假设当时，结论成立，即，亦即.当时，.又，所以，因此.也就是说，当时，结论成立．根据（ⅰ）和（ⅱ）知，.〖例5〗已知曲线，过上一点作斜率为的直线，交曲线于另一点，再过作斜率为的直线，交曲线于另一点，…，过作斜率为的直线，交曲线于另一点，…，其中，.（1）求与的关系式；（2）判断与的大小关系，并证明你的结论；（3）求证：.解：（1）由已知过斜率为的直线为，13直线交曲线于另一点，所以，即，，所以.（2）当为奇数时，；当为偶数时，.因为，注意到，所以与异号，由于，所以，以此类推，

6、当时，；当时，.（3）由于，，所以，所以，所以，所以.〖例6〗已知数列中的相邻两项，是关于的方程的两个根，且（）.（1）求，，，；（2）求数列的前项和；（3）记，，求证：（）．解析：（2）根据韦达定理有，故采用分组求和求解.（3）不难发现不具周期性，故的值无从确定.13这样，在写出具体项分析规律时发现，.因此，在证明时只需证明问题即转化为先考虑如何求和？由韦达定理可得，根据形式可确定将其放所谓等比数列求和，这样就要把放缩为1或.当然，如何将进行合适的放缩需要进行探索和调整.解：（1）方程的两个根为，，当时，，所以；当时，，，所以；当时，，，

7、所以；当时，，，所以．（2）解：.（3）证明：，则，.当时，，同时，.13综上，当时，.〖例7〗是由定义在上且满足如下条件的函数组成的集合：①对任意的，都有；②存在常数（），使得对任意的，都有.（1）设，，证明：；（2）设.如果存在，使得，那么这样的是唯一的；（3）设.任取，令，.证明：给定正整数，对任意的正整数，不等式成立.解析：（3）关注提示性的信息（1）证明：因为，.所以，.当时，，所以.对任意的，.取，则，对任意的，都有.综上有.（2）设.若存在使得（）.由条件②知，存在常数（）使得，因为，所以，即.（3）设.任取，令，.由条件①知

8、，.13由条件②知，存在常数（），使得对任意的正整数，.从而对给定的正整数及任意的正整数，.〖例8〗对于每项均是正整数的数列，定义变换，将数列变换成数列.对于每项均是非负整数的数