数值分析试卷及其答案.doc

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1、1.已知都有6位有效数字，求绝对误差限。（4分）解：由已知可知,n=62分2分2.已知求（6分）解：1分1分1分=2分1分3.设（6分）①写出f(x)=0解的Newton迭代格式②当a为何值时，（k=0,1……）产生的序列收敛于解：①Newton迭代格式为：3分②3分1.给定线性方程组Ax=b，其中：，用迭代公式（k=0,1……）求解Ax=b，问取什么实数，可使迭代收敛（8分）解：所给迭代公式的迭代矩阵为2分其特征方程为2分即，解得2分要使其满足题意，须使，当且仅当2分2.设方程Ax=b，其中，试讨论解此方程的Jacobi迭代法的收敛性，并建立Gauss-Seidel迭代格式（9分）解

2、：3分2分即，由此可知Jacobi迭代收敛1分Gauss-Seidel迭代格式：（k=0,1,2,3……）3分3.用Doolittle分解计算下列3个线性代数方程组：（i=1,2,3）其中，（12分）解：①A==LU3分由Ly=b1，即y=得y=1分由Ux1=y，即x1=得x1=2分②x2=由Ly=b2=x1，即y=得y=1分由Ux2=y，即x2=得x2=2分③x3=由Ly=b3=x2，即y=得y=1分由Ux3=y，即x3=得x3=2分1.已知函数y=f(x)有关数据如下：要求一次数不超过3的H插值多项式，使（6分）解：作重点的差分表，如下：3分=-1+(x+1)-x(x+1)+2x.

3、x(x+1)=3分2.有如下函数表：试计算此列表函数的差分表，并利用Newton前插公式给出它的插值多项式（7分）解：由已知条件可作差分表，3分（i=0,1,2,3）为等距插值节点，则Newton向前插值公式为：=4+5x+x(x-1)=4分1.求f(x)=x在[-1,1]上的二次最佳平方逼近多项式，并求出平方误差（8分）解：令2分取m=1,n=x,k=,计算得：(m,m)==0(m,n)==1(m,k)==0(n,k)==0.5(k,k)==0(m,y)==1(n,y)==0(k,y)==0.5得方程组：3分解之得（c为任意实数，且不为零）即二次最佳平方逼近多项式1分平方误差：2分2

4、.已知如下数据：用复合梯形公式，复合Simpson公式计算的近似值（保留小数点后三位）（8分）解：用复合梯形公式：=3.1394分用复合Simpson公式：=3.1424分1.计算积分，若用复合Simpson公式要使误差不超过，问区间要分为多少等分?若改用复合梯形公式达到同样精确度，区间应分为多少等分?（10分）解：①由Simpson公式余项及得2分即，取n=62分即区间分为12等分可使误差不超过1分②对梯形公式同样，由余项公式得2分即2分即区间分为510等分可使误差不超过1分1.用改进Euler格式求解初值问题：要求取步长h为0.1，计算y（1.1）的近似值（保留小数点后三位）[提示

5、：sin1=0.84,sin1.1=0.89]（6分）解：改进Euler格式为：2分于是有（n=0,1,2……）2分由y(1)==1，计算得2分即y(1.1)的近似值为0.8382.（4分）证明：4分3.证明：设，为任意矩阵范数，则（6分）证明：设为A的按模最大特征值，x为相对应的特征向量，则有Ax=x1分且，若是实数，则x也是实数，得1分而2分由于1分故1分当是复数时，一般来说x也是复数，上述结论依旧成立