数值分析试卷及其答案7

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1、1.为了使殛的近似值的相对误差限小于0.1%,要取几位有效数字？（5分）解、解：设有斤位有效数字，由V20=4.4••-,知ax-^令£；（履）5丄X10如）=-xl0-（w_,）<0.1%2%8取斤=4、^*（720）<0」25xl（T彳<0.1%故V20-4.4722设方程12-3区+2匚如=0的迭代法为2xk+i=4+-cos^证明对Vx0eR均有gF,其中汕为方程的根.（5分）证明：迭代函数（p（x）=4+

2、cosx,对F）有3兰卩G）兰5,故卩G）w（-oo,+od）2<-=Z

3、分别在0、02上求一元素，使其为FwC[O,l]的最佳平方逼近，并比较其结果。（10分）（4分）由结果知（1）比（2）好。（比较1分）4、用列主元素消元法求解方程组_i-1r~-4~5-43x2=-12211兰3.11•(10)解：解:_1-11-4「_5-43-12'5-43-12―!―J1-11-421111_211115-43-125-43-120128013179555550131012855555J51-5-4y355_13-1279y513（8分）回代得兀3=—1,兀2=6,坷=3。（2分）设法导出使雅可比（Jacobi）迭代

4、法和高斯一赛徳尔（G-S）迭代法均收敛的迭代格式，要求分别写出迭代格式，并说明收敛的理由。解：~2-101r_19-7-11010[Ab]=10-1562心〉-13-103014-18qxl0+々014-18-13-10310-156因其变换后为等价方程组，且严格对角占优，故雅可比和高斯一赛德尔迭代法均收敛。（5分）雅可比迭代格式为：x；w+,）=丄（7对"）+略”）—10琦+10）19丘曲）=丄（兀；初+斗”）+3）':（加=0,1,2,…）罟+1）=*（_兀弊+屮）+8）兀/+】）=丄兀『）+6）5（2分）高斯一赛徳尔代格式为:严）

5、=-L（7甥）+孕一10<+10）疔+1）=丄（彳曲）+垮”）+3）':（m=0,1,2,-..）铲）=占（_铲）+事）+8）妒）=丄（_严+护1）+6）5（3分）6、、取节点勺=0內=0・5,兀2=1,求函数/（x）=e~v在区间［0,1］上的二次插值多项式£（x）,并估计误差。（8分）解:：〈(兀_0)(兀_0・5)(1-0)(1-0.5)=2(兀一0.5)(%-1)-4e~05x(x一1)+2e~lx(x一0.5)故截断误差r11R2(兀)1=1£-P2M<-x(x一0.5)(x-l)

6、o3分又/(x)=e-r(x)=-e-

7、M3=maxjr(x)l=l5分9937、用幕法求矩阵人=33o9按模最大的特征值及相应的特征向量，取Xo=（1J）7,精确至7位有效数字。（10）解：獄法公式为几=叽1

8、0098(1,0.333000330)取兀（）=（1」）T，列表如下:因为Im4一®$*x1°",所以人=99・9990009&«(L0.33300033)78、用欧拉方法求dr在点x=0.5,1.0,1.5,2.0处的近似值。(8分)解：yM=览e-广d/等价于、y（o）=o（x>o）（2分）2记.f（兀,y）=eA，取h-0.5，兀o=0,X]=0.5,x2=1.0,x3=1.5,x4=2.0则由欧拉公式儿+1二儿+〃（冷，儿）r‘y°=0n=0,1,2,32分可得y（0.5）=y{=0.5,y（l.0）=）勺-0.88940y（1.

9、5）-y3=1.07334,>2.0）=y4-1.126049^已知A=r40IK,II4lbio分解：Mlh=4,M

10、」4,（4分）_400_400_「1600_ArA=01-1011—0210100-10011

11、A7A-AE

12、=16-200011-A=（16_2）（才_3兄+1）二0得2=竺5,16所以2MIL。（6分）10、、“3,用复合梯形公式求的近似值（取四位小数），并求误差估计。（5分）解：「evdx-7；=匕［e°+2（e1/3+e2/3）+e1l-l.7342Jo32x3f（x）=efx）=eOSSI时，*eeI呎

13、莎尹顾R°25・Y0・05至少有两位有效数字。2分11、下列方程组Ax=b,'12-2A=111221_02-2_2-2B=D_1(Z4-Z7)=-101,det(2Z-5)=121=0_22