（新课标）高考数学复习考点集训（十七）第17讲导数与函数的综合问题新人教A版.docx

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1、考点集训(十七)　第17讲　导数与函数的综合问题对应学生用书p219A组题1．若不等式2xlnx≥－x2＋ax－3对任意x∈(0，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围是(　　)A．(－∞，0)B．(－∞，4]C．(0，＋∞)D．[4，＋∞)[解析]2xlnx≥－x2＋ax－3，则a≤2lnx＋x＋，设h(x)＝2lnx＋x＋(x>0)，则h′(x)＝.当x∈(0，1)时，h′(x)<0，函数h(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，h′(x)>0，函数h(x)单调递增．所以h(x)min＝h(1)＝4.所以a≤h(x)min＝4.[答案]B2．已知定义域为R的函数f(x)满足f(4)＝－3，且对任意

2、实数x，总有f′(x)＜3，则不等式f(x)＜3x－15的解集为(　　)A．(－∞，4)B．(－∞，－4)C．(－∞，－4)∪(4，＋∞)D．(4，＋∞)[解析]设g(x)＝f(x)－(3x－15)＝f(x)－3x＋15，则所求的不等式解集可理解为使g(x)<0的解集．g(x)的导函数为g′(x)＝f′(x)－3，根据题意可知g′(x)＝f′(x)－3<0对任意实数x恒成立，所以g(x)在R上单调递减．则g(4)＝f(4)－12＋15＝0，令g(x)<0，则g(x)4.[答案]D3．若a＞，则方程lnx－ax＝0的实根的个数为(　　)A．0个B．1个C．2个D

3、．无穷多个[解析]方程lnx－ax＝0等价于＝a，设f(x)＝.∵f′(x)＝＝，令f′(x)＝0，得x＝e，∴f(x)在(0，e)上单调递增；在(e，＋∞)上单调递减．∴f(x)的最大值f(e)＝，即f(x)＝≤(仅当x＝e时，等号成立)．∵a＞，∴原方程无实根．[答案]A4．某品牌小汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式为y＝x3－x＋18(0＜x≤120)．若要使该汽车行驶200千米时的油耗最低，则汽车匀速行驶的速度应为(　　)A．60千米/时B．80千米/时C．90千米/时D．100千米/时[解析]当速度为x千米/小时，时间为小时，所以f(x)＝·

4、＝x2＋－20(0＜x≤120)，所以f′(x)＝x－＝(0＜x≤120)，令f′(x)＝0，∴x＝90.当x∈(0，90)时，函数f(x)单调递减，当x∈(90，120)时，函数f(x)单调递增．所以x＝90时，函数f(x)取得最小值．[答案]C5．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数给出：y＝－t3－t2＋36t－.则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是________时．[解析]y′＝－t2－t＋36＝－(t＋12)(t－8)，令y′＝0得t＝

5、－12(舍去)或t＝8，当6≤t<8时，y′>0；当8－时，g′(x)>0，因此当x＝－时，g(x)取得极小值也是最小值g＝－2e－，又g(0)＝－1，g(1)＝e>0，直线y＝ax－

6、a过点(1，0)且斜率为a，故解得≤a<1.[答案]7．已知函数f(x)＝xlnx－mx2－x(m∈R)．(1)若函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，求实数m的取值范围；(2)若函数f(x)在(0，＋∞)上存在两个极值点x1，x2，且x12.[解析](1)∵f(x)＝xlnx－mx2－x(m∈R)在(0，＋∞)上是减函数，∴f′(x)＝lnx－mx≤0在定义域(0，＋∞)上恒成立，∴m≥，设h(x)＝，则h′(x)＝，由h′(x)>0，得x∈(0，e)，由h′(x)<0，得x>e，∴函数h(x)在(0，e)上递增，在(e，＋∞)上递减，∴h(x)max＝h(

7、e)＝，∴m≥.故实数m的取值范围是.(2)由(1)知f′(x)＝lnx－mx，∵函数f(x)在(0，＋∞)上存在两个极值点x1，x2，且x12，只需证>2，只需证lnt<，只需证lnt－<0，构造函数g(t)＝lnt－，则g′(t)＝－＝>0，∴g(t)＝lnt－在t∈(0，1)