（新课标）高考数学复习第三章导数及其应用第17讲导数与函数的综合问题导学案新人教A版.docx

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1、第17讲　导数与函数的综合问题【课程要求】掌握应用导数求解实际问题的基本题型，提升通过构造函数应用导数解决不等式、方程等问题的能力．对应学生用书p47【基础检测】1．某品牌电动汽车的耗电量y与速度x之间的关系为y＝x3－x2－40x(x>0)，为使耗电量最小，则速度应定为____________．[解析]令y′＝x2－39x－40＝0，得x＝－1或x＝40，由于当040时，y′>0.所以当x＝40时，y有最小值．[答案]402．从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子

2、，则盒子容积的最大值为__________cm3.[解析]设盒子容积为ycm3，盒子的高为xcm，x∈(0，5)．则y＝(10－2x)(16－2x)x＝4x3－52x2＋160x，∴y′＝12x2－104x＋160.令y′＝0，得x＝2或x＝(舍去)，∴ymax＝6×12×2＝144(cm3)．[答案]1443．若函数f(x)在R上可导，且满足f(x)－xf′(x)>0，则(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．3f(1)f(3)C．3f(1)＝f(3)D．f(1)＝f(3)[解析]由于f(x)>xf′(x

3、)，则′＝<0在(0，＋∞)上恒成立，因此在(0，＋∞)上是单调递减函数，∴<，即3f(1)>f(3)．[答案]B4．已知函数f＝－1＋lnx，若存在x0>0，使得f≤0有解，则实数a的取值范围是(　　)A．a>2B．a<3C．a≤1D．a≥3[解析]若存在x0>0，使得f≤0有解，则由f＝－1＋lnx≤0，即≤1－lnx，即a≤x－xlnx，设h＝x－xlnx，则h′＝－lnx，由h′>0得lnx<0，得01，此时函数递减，即当x＝1时，函数h取得极大值h＝1－ln1＝1，即h≤1，

4、若a≤x－xlnx有解，则a≤1，故选C.[答案]C5．若函数f(x)＝x2ex－a恰有三个零点，则实数a的取值范围是(　　)A.B.C．(0，4e2)D．(0，＋∞)[解析]函数y＝x2ex－a的导数为y′＝2xex＋x2ex＝xex(x＋2)，令y′＝0，则x＝0或－2，当－2＜x＜0上时，y′<0，函数单调递减，当x∈(－∞，－2)或(0，＋∞)时，y′>0，函数在两个区间上单调递增，∴函数f(x)在x＝－2处取极大值，在x＝0处取极小值，函数的极值为：f(0)＝－a，f(－2)＝4e－2－a，已知函数f(x)＝x2ex－a恰有三个零

5、点，故－a<0，且4e－2－a>0，解得实数a的取值范围是.[答案]B【知识要点】1．优化问题与实际问题相关的利润最大、用料最省、效率最高等问题通常称为优化问题．2．导数在优化问题中的应用3．导数与不等式(1)不等式的证明可以通过构造函数等价转换为探究函数值的大小，然后应用导数讨论函数的单调性，从而实现不等式的证明．(2)含参数不等式的恒成立问题，通过分离变量，构造函数等价转换为函数最值问题，然后应用导数求函数最值．4．导数与方程方程根的存在性问题等价转换为函数极值和单调性问题研究，然后应用导数及数形结合确定方程根的存在性和个数．对应学生用

6、书p48利用导数研究生活中的优化问题例1　某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l.如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米．以l2，l1所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy.假设曲线C符合函数y＝(a，b为常数)模型．(1)求a，b的值；(2)设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.①请写出

7、公路l长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域．②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度．[解析](1)由题意知，点M，N的坐标分别为(5，40)，(20，2.5)．将其分别代入y＝，得解得(2)①由(1)知y＝(5≤x≤20)，则点P的坐标为.设在点P处的切线l交x，y轴分别于A，B两点，y′＝－，则l的方程为y－＝－(x－t)，由此得A，B.故f(t)＝＝，t∈[5，20]．②设g(t)＝t2＋，t∈[5，20]，则g′(t)＝2t－.令g′(t)＝0，解得t＝10.当t∈(5，10)时，g′(t)＜0，g(t)是减函数；当t∈(

8、10，20)时，g′(t)＞0，g(t)是增函数．从而，当t＝10时，函数g(t)有极小值，也是最小值，所以g(t)min＝300，此时f(t)min＝15.故当t＝10时，公路