高考数学总复习第三章导数及其应用第18讲导数与函数的综合问题练习理新人教版

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1、第18讲　导数与函数的综合问题夯实基础　【p39】【学习目标】掌握应用导数求解实际问题的基本题型，提升通过构造函数应用导数解决不等式、方程等问题的能力．【基础检测】1．函数f(x)＝－，若存在x0∈(0，2]使得m－f(x0)>0成立，则实数m的取值范围是(　　)A.B．(－1，＋∞)C．(1，＋∞)D.【解析】若存在x0∈(0，2]使得m－f(x0)>0成立，则在x∈(0，2]内f(x)min－e2.【答案】A2．若函数f(x)＝x2ex－a恰有三个零点，则实数

2、a的取值范围是(　　)A.B.C．(0，4e2)D．(0，＋∞)【解析】函数y＝x2ex－a的导数为y′＝2xex＋x2ex＝xex(x＋2)，令y′＝0，则x＝0或－2，当－2＜x＜0上时，y′<0，函数单调递减，当x∈(－∞，－2)或(0，＋∞)时，y′>0，函数在两个区间上单调递增，∴函数f(x)在x＝－2处取极大值，在x＝0处取极小值，函数的极值为：f(0)＝－a，f(－2)＝4e－2－a，已知函数f(x)＝x2ex－a恰有三个零点，故－a<0，且4e－2－a>0，解得实数a的取值范围是.【答案】B3．某品牌小汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的

3、函数解析式为y＝x3－x＋18(0＜x≤120)．若要使该汽车行驶200千米时的油耗最低，则汽车匀速行驶的速度应为(　　)A．60千米/时B．80千米/时C．90千米/时D．100千米/时【解析】当速度为x千米/小时时，时间为小时，所以f(x)＝·＝x2＋－20(0＜x≤120)，所以f′(x)＝x－＝(0＜x≤120)，令f′(x)＝0，∴x＝90.当x∈(0，90)时，函数f(x)单调递减，当x∈(90，120)时，函数f(x)单调递增．所以x＝90时，函数f(x)取得最小值．【答案】C4．已知表面积为100π的球内接一个圆锥，则该圆锥体积的最大值为(　　)A.πB.πC.πD.

4、π【解析】设球的半径为R，内接圆锥的底面半径为r，高为h，由题意知，4πR2＝100π，解得R＝5，则球心到圆锥底面的距离为(00，则(　　)A．3f(1)f(3)C．3f(1)

5、＝f(3)D．f(1)＝f(3)【解析】由于f(x)>xf′(x)，则′＝<0恒成立，因此在R上是单调递减函数，∴<，即3f(1)>f(3)．【答案】B【知识要点】1．优化问题与实际问题相关的利润最大、用料最省、效率最高等问题通常称为优化问题．2．导数在优化问题中的应用3．导数与不等式(1)不等式的证明可以通过构造函数等价转换为探究函数值的大小，然后应用导数讨论函数的单调性，从而实现不等式的证明．(2)含参数不等式的恒成立问题，通过分离变量，构造函数等价转换为函数最值问题，然后应用导数求函数最值．4．导数与方程方程根的存在性问题等价转换为函数极值和单调性问题研究，然后应用导数及数形结

6、合确定方程根的存在性和个数．典例剖析　【p39】考点1　利用导数研究生活中的优化问题如图(1)是一个仿古的首饰盒，其左视图是由一个半径为r分米的半圆和矩形ABCD组成，其中AD长为a分米，如图(2)．为了美观，要求r≤a≤2r.已知该首饰盒的长为4r分米，容积为4立方分米(不计厚度)，假设该首饰盒的制作费用只与其表面积有关，下半部分的制作费用为每平方分米2百元，上半部制作费用为每平方分米4百元，设该首饰盒的制作费用为y百元．(1)写出y关于r的函数解析式；(2)当r为何值时，该首饰盒的制作费用最低？【解析】(1)由题知4＝4r＝2πr3＋8ar2，∴a＝＝.又因r≤a≤2r，得≤r≤

7、，∴y＝2(4ar＋8ar＋8r2)＋4(πr×4r＋πr2)＝24ar＋16r2＋20πr2＝24r×＋20πr2＋16r2＝＋(16＋14π)r2.(2)令f(r)＝＋(16＋14π)r2，∴f′(r)＝－＋(32＋28π)r，令f′(r)＝0则r＝，∵－＝<0，所以当≤r≤时，f′(x)>0，函数f(r)为增函数．∴r＝时，f(r)最小．答：当r＝分米时，该首饰盒制作费用最低．【点评】利用导数解决生活中的优化问题的四步骤(1)分析实际问题中各量之间的