2020版高考数学总复习第三章导数及其应用第18讲导数与函数的综合问题练习文

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1、第18讲　导数与函数的综合问题夯实基础　【p43】【学习目标】掌握利用导数求解与不等式和方程有关的技巧和方法，会利用导数求解实际生活中的优化问题，提高分析问题和解决问题的能力．【基础检测】　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．已知定义在R上的函数f的图象如图所示，则x·f′>0的解集为(　　)A.∪B.C.D.∪【解析】不等式x·f′(x)>0等价为当x>0时，f′(x)>0，即x>0时，函数递增，此时10

2、，b>0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于(　　)A．3B．6C．9D．2【解析】∵f′(x)＝12x2－2ax－2b，又因为在x＝1处有极值，∴f′(1)＝0，a＋b＝6，∵a＞0，b＞0，∴ab≤＝9，当且仅当a＝b＝3时取等号．所以ab的最大值等于9.【答案】C3．若a＞，则方程lnx－ax＝0的实根的个数为(　　)A．0个B．1个C．2个D．无穷多个【解析】由于方程lnx－ax＝0等价于＝a.设f(x)＝.∵f′(x)＝＝，令f′(x)＝0，得x＝e，∴f(x)在(0，e)上单调递增；在(e，＋∞)上单调递减．∴f(x)的最

3、大值f(e)＝，f(x)＝≤(仅当x＝e时，等号成立)．∵a＞，∴原方程无实根．【答案】A4．某城市在发展过程中，交通状况逐渐受到大家更多的关注，据有关统计数据显示，从上午6时到9时，车辆通过该市某一路段的用时y(分钟)与车辆进入该路段的时刻t之间的关系可近似地用如下函数给出：y＝－t3－t2＋36t－，则在这段时间内，通过该路段用时最多的时刻是________时．【解析】y′＝－t2－t＋36＝－(t＋12)(t－8)，令y′＝0得t＝－12(舍去)或t＝8，当6≤t<8时，y′>0，当8

4、问题相关的利润最大、用料最省、效率最高等问题通常称为优化问题．2．导数在优化问题中的应用3．导数与不等式(1)不等式的证明可以通过构造函数等价转换为探究函数值的大小，然后应用导数讨论函数的单调性，从而实现不等式的证明．(2)含参数不等式的恒成立问题，通过分离变量，构造函数等价转换为函数最值问题，然后应用导数求函数最值．4．导数与方程方程根的存在性问题等价转换为函数极值和单调性问题研究，然后应用导数及数形结合确定方程根的存在性和个数．典例剖析　【p43】考点1　利用导数研究生活中的优化问题某学校高二年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某“著名品牌”A系列进行市场销售量调研

5、，通过对该品牌的A系列一个阶段的调研发现，A系列每日的销售量f(x)(单位：千克)与销售价格x(元/千克)近似满足关系式f(x)＝＋10(x－7)2，其中4

6、1950(40，h(x)在(4，5]为增函数；当5

7、(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0；(3)比较函数在区间端点和f′(x)＝0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值；(4)回归实际问题作答．考点2　利用导数研究函数的零点或方程根的问题已知函数f(x)＝ex－mx，m∈R.(1)当m＝1时，求函数f(x)的最小值；(2)若函数g(x)＝f(x)－lnx＋x2存在两个零点，求m的取值范围．【解析】(1)当m＝1时，f(x)＝ex－x，∴f′(x)＝ex－1，当x<0，f′(x)<0，当x>0，f′(x)>0，∴f(x)m