2020年高考数学二轮复习精品考点学与练4 导数及其应用（考点解读解析版）.docx

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1、专题4导数及其应用高考将以导数的几何意义为背景，重点考查运算及数形结合能力，导数的综合运用涉及的知识面广，综合的知识点多，形式灵活，是每年的必考内容，经常以压轴题的形式出现．1．闭区间上连续的函数一定有最值，开区间内的函数不一定有最值，若有唯一的极值，则此极值一定是函数的最值．2．若f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d有两个极值点，且x10时，f(x)的图象如图，x1为极大值点，x2为极小值点，当a<0时，f(x)图象如图，x1为极小值点，x2为极大值点．3．若函数y＝f(x)为偶函数，则f′(x)为奇函数；若函数y＝f(x)为奇函数，则f′(x)为偶函数．

2、4．y＝ex在(0,1)处的切线方程为y＝x＋1；y＝lnx在(1,0)处的切线方程为y＝x－1.5．不等式恒成立问题(1)a＞f(x)恒成立⇔a＞f(x)max；a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max；(2)a＜f(x)恒成立⇔a＜f(x)min；a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min6．不等式有解问题(1)a＞f(x)有解⇔a＞f(x)min；a≥f(x)有解⇔a≥f(x)min；(2)a＜f(x)有解⇔a＜f(x)max；a≤f(x)有解⇔a≤f(x)max.7．常用的不等关系(1)ex≥x＋1(x∈R)　(2)x－1≥lnx(x＞0)(3)ex＞lnx(x＞0)

3、　(4)tanx＞x＞sinx(5)

4、

5、a

6、－

7、b

8、

9、≤

10、a＋b

11、≤

12、a

13、＋

14、b

15、8．常见构造函数(1)xf′(x)＋f(x)联想[xf(x)]′；(2)xf′(x)－f(x)联想′；(3)f′(x)＋f(x)联想′；(4)f′(x)－f(x)联想′；(5)f′(x)±k联想(f(x)±kx)′.高频考点一　导数的几何意义及应用例1、曲线f(x)＝x＋lnx在点(1，1)处的切线与坐标轴围成的三角形面积为(　　)A．2B.C.D.【答案】D【解析】f′(x)＝1＋，则f′(1)＝2，故曲线f(x)＝x＋lnx在点(1，1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－

16、1，此切线与两坐标轴的交点坐标分别为(0，－1)，(，0)，则切线与坐标轴围成的三角形的面积为×1×＝，故选D.【举一反三】（2018年全国卷Ⅱ）曲线在点处的切线方程为__________．【答案】y=2x–2【解析】由，得则曲线在点处的切线的斜率为，则所求切线方程为，即.【变式探究】(2017·高考天津卷)已知a∈R，设函数f(x)＝ax－lnx的图象在点(1，f(1))处的切线为l，则l在y轴上的截距为________．【解析】∵f′(x)＝a－，∴f′(1)＝a－1.又∵f(1)＝a，∴切线l的斜率为a－1，且过点(1，a)，∴切线l的方程为y－a＝(a－1)(x

17、－1)．令x＝0，得y＝1，故l在y轴上的截距为1.【答案】1【变式探究】(1)已知函数f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.【解析】基本法：由题意可得f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1，又f(1)＝a＋2，∴f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)，又此切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝(3a＋1)(2－1)，解得a＝1.速解法：∵f(1)＝2＋a，由(1，f(1))和(2,7)连线斜率k＝＝5－a，f′(x)＝3ax2＋1，∴5

18、－a＝3a＋1，∴a＝1.【答案】1(2)已知曲线y＝x＋lnx在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.【解析】基本法：令f(x)＝x＋lnx，求导得f′(x)＝1＋，f′(1)＝2，又f(1)＝1，所以曲线y＝x＋lnx在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.设直线y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1的切点为P(x0，y0)，则y′

19、x＝x0＝2ax0＋a＋2＝2，得a(2x0＋1)＝0，∴a＝0或x0＝－，又ax＋(a＋2)x0＋1＝2x0－1，即ax＋ax0＋2＝0，当a＝0时，显然

20、不满足此方程，∴x0＝－，此时a＝8.速解法：求出y＝x＋lnx在(1,1)处的切线为y＝2x－1由得ax2＋ax＋2＝0，∴Δ＝a2－8a＝0，∴a＝8或a＝0(显然不成立)．【答案】8【方法技巧】1．求曲线y＝f(x)的切线方程的三种类型及方法(1)已知切点P(x0，y0)，求y＝f(x)过点P的切线方程：可先求出切线的斜率f′(x0)，由点斜式写出方程．(2)已知切线的斜率k，求y＝f(x)的切线方程：设切点P(x0，y0)，通过方程k＝f′(x0)解得x0，再由点斜式写出方程．(3)已知切线上一点(非切点)，求y＝f(x)的切线方