2020年高考数学二轮复习精品考点学与练15 圆锥曲线的综合应用（考点解读解析版）.docx

《2020年高考数学二轮复习精品考点学与练15 圆锥曲线的综合应用（考点解读解析版）.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、专题15圆锥曲线的综合应用圆锥曲线中的定点与定值、最值与范围问题是高考的热点，主要以解答题的形式呈现，往往作为考题的压轴题之一，以椭圆或抛物线为背景，尤其是与条件或结论相关存在性开放问题，对考生的代数恒等变形能力、计算能力有较高要求．高频考点一圆锥曲线中的最值、范围圆锥曲线中的范围、最值问题，可以转化为函数的最值问题(以所求式子或参数为函数值)，或者利用式子的几何意义求解．例1、如图所示，设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于

2、AF

3、－1.(1)求p的值；(2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交

4、于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围．【解析】(1)由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x＝－1的距离，由抛物线的定义得＝1，即p＝2.(2)由(1)得，抛物线方程为y2＝4x，F(1，0)，可设A(t2，2t)，t≠0，t≠±1.故直线FN的斜率为－，从而得直线FN：y＝－(x－1)，直线BN：y＝－，所以N.【变式探究】已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．(1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．【解

5、析】(1)设F(c，0)，由条件知，＝，得c＝.又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.故E的方程为＋y2＝1.(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．将y＝kx－2代入＋y2＝1，得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.当Δ＝16(4k2－3)＞0，即k2＞时，x1，2＝.从而

6、PQ

7、＝

8、x1－x2

9、＝.又点O到直线PQ的距离d＝.所以△OPQ的面积S△OPQ＝d·

10、PQ

11、＝.设＝t，则t＞0，S△OPQ＝＝.因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时等号成立，且满足Δ＞0.所以当△OPQ的面积最大时，l的方程为y＝x－

12、2或y＝－x－2.高频考点二　定点、定值问题探究1．由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y－y0＝k(x－x0)，则直线必过定点(x0，y0)；若得到了直线方程的斜截式：y＝kx＋m，则直线必过定点(0，m)．2．解析几何中的定值问题是指某些几何量(线段的长度、图形的面积、角的度数、直线的斜率等)的大小或某些代数表达式的值等与题目中的参数无关，不依参数的变化而变化，而始终是一个确定的值．例2、已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，A(a，0)，B(0，b)，O(0，0)，△OAB的面积为1.(1)求椭圆C的方程；(2)设P是椭圆C上一点，直线PA与y轴

13、交于点M，直线PB与x轴交于点N.求证：

14、AN

15、·

16、BM

17、为定值．(1)【解析】由题意得解得所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)证明：由(1)知A(2，0)，B(0，1)．设P(x0，y0)，则x＋4y＝4.当x0≠0时，直线PA的方程为y＝(x－2)．令x＝0，得yM＝－，从而

18、BM

19、＝

20、1－yM

21、＝.直线PB的方程为y＝x＋1.令y＝0得xN＝－，从而

22、AN

23、＝

24、2－xN

25、＝.所以

26、AN

27、·

28、BM

29、＝·＝＝＝4.当x0＝0时，y0＝－1，

30、BM

31、＝2，

32、AN

33、＝2，所以

34、AN

35、·

36、BM

37、＝4.综上可知，

38、AN

39、·

40、BM

41、为定值．【方法规律】1．求定值问题常见的方法

42、有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得出定值．2．定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决的问题，然后证明与参数无关，这类问题选择消元的方向是非常关键的．【变式探究】如图，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)经过点A(0，－1)，且离心率为.(1)求椭圆E的方程；(2)经过点(1，1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为定值．(1)【解析】由题设知＝，b＝1，结合a2＝b2＋c2，解得a＝，所以椭圆的方程为＋y2＝1.(2)证明：由题设知

43、，直线PQ的方程为y＝k(x－1)＋1(k≠2)，代入＋y2＝1，得(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2k(k－2)＝0.由已知Δ＞0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x2≠0，则x1＋x2＝，x1x2＝，从而直线AP，AQ的斜率之和kAP＋kAQ＝＋＝＋＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k)＝2k＋(2－k)＝2k－2(k－1)＝2.故kAP＋kAQ为定值2.例3、已知焦距为2的椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右顶点为A，直线y＝与椭圆C交于P，Q两点(P在Q的左边)，Q在x轴上的射影为B，且四边形ABPQ是平行四边形．(1)求椭圆C的方