2021届高考数学（理）二轮复习考点04 导数及其应用（考点解读解析版）.docx

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1、专题4导数及其应用高考将以导数的几何意义为背景，重点考查运算及数形结合能力，导数的综合运用涉及的知识面广，综合的知识点多，形式灵活，是每年的必考内容，经常以压轴题的形式出现．预测高考仍将利用导数研究方程的根、函数的零点问题、含参数的不等式恒成立、能成立、实际问题的最值等形式考查．1．导数的定义f′(x)＝＝.2．导数的几何意义函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即k＝f′(x0)．3．导数的运算(1)基本初等函数的导数公式①c′＝0(c为常数)；　　②(xm)′＝mxm－1；③(sinx)′＝cosx;④(

2、cosx)′＝－sinx；⑤(ex)′＝ex;⑥(ax)′＝axlna；⑦(lnx)′＝；⑧(logax)′＝.(2)导数的四则运算法则①[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；②[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；③[]′＝.④设y＝f(u)，u＝φ(x)，则y′x＝y′uu′x.4．函数的性质与导数在区间(a，b)内，如果f′(x)>0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递增．如果f′(x)<0，那么函数f(x)在区间(a，b)上单调递减．5．利用定积分求曲线围成图形的面积的步骤：①画出图形；②确定被积函数；③求出交点坐标，确定

3、积分的上、下限；④运用微积分基本定理计算定积分，求出平面图形的面积．特别注意平面图形的面积为正值，定积分值可能是负值．被积函数为y＝f(x)，由曲线y＝f(x)与直线x＝a，x＝b(a0时，S＝f(x)dx；②当f(x)<0时，S＝－f(x)dx；③当x∈[a，c]时，f(x)>0；当x∈[c，b]时，f(x)<0，则S＝f(x)dx－f(x)dx.高频考点一　导数的几何意义及应用例1、（2018年全国Ⅲ卷理数）曲线在点处的切线的斜率为，则________．【答案】-3【解析】，则所以【变式探究】(1)已知函数f(x)＝

4、ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线过点(2,7)，则a＝________.【解析】基本法：由题意可得f′(x)＝3ax2＋1，∴f′(1)＝3a＋1，又f(1)＝a＋2，∴f(x)＝ax3＋x＋1的图象在点(1，f(1))处的切线方程为y－(a＋2)＝(3a＋1)(x－1)，又此切线过点(2,7)，∴7－(a＋2)＝(3a＋1)(2－1)，解得a＝1.速解法：∵f(1)＝2＋a，由(1，f(1))和(2,7)连线斜率k＝＝5－a，f′(x)＝3ax2＋1，∴5－a＝3a＋1，∴a＝1.【答案】1(2)已知曲线y＝x＋lnx在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋

5、(a＋2)x＋1相切，则a＝________.【解析】基本法：令f(x)＝x＋lnx，求导得f′(x)＝1＋，f′(1)＝2，又f(1)＝1，所以曲线y＝x＋lnx在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.设直线y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1的切点为P(x0，y0)，则y′

6、x＝x0＝2ax0＋a＋2＝2，得a(2x0＋1)＝0，∴a＝0或x0＝－，又ax＋(a＋2)x0＋1＝2x0－1，即ax＋ax0＋2＝0，当a＝0时，显然不满足此方程，∴x0＝－，此时a＝8.速解法：求出y＝x＋lnx在(1,1)处的切线为y＝2x－1由得ax2＋

7、ax＋2＝0，∴Δ＝a2－8a＝0，∴a＝8或a＝0(显然不成立)．【答案】8【变式探究】设曲线y＝ax－ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为y＝2x，则a＝(　　)A．0B．1C．2D．3【解析】基本法：y′＝a－，当x＝0时，y′＝a－1＝2，∴a＝3，故选D.【答案】D高频考点二　导数与函数的极值、最值例2、（2018年浙江卷）已知λ∈R，函数f(x)=，当λ=2时，不等式f(x)<0的解集是___________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．【答案】(1).(1,4)(2).【解析】由题意得或，所以或，即，不等式f(x)<

8、0的解集是当时，，此时，即在上有两个零点；当时，，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为。【变式探究】(1)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是(　　)A．(2，＋∞)B．(1，＋∞)C．(－∞，－2)D．(－∞，－1)【解析】基本法：a＝0时，不符合题意．a≠0时，f′(x)＝3ax2－6x，令f′(x)＝0，得x1＝0，x2＝.若a＞0，则由图象知f(x)有负数零点，不符合题意．则a＜0，由图象结合f(0)＝1＞0知，此时必有f＞0，即