01高等代数试题解答

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1、中科院数学与系统科学研究所2001年高等代数试题解答一、设和为满秩方阵，试求的逆矩阵（用表示即可）。解：由知，可逆。令，表示与同阶的单位矩阵，则由得，其中为与同阶的单位矩阵，其中为与同阶的单位矩阵。于是得由此解出所以.二、设为个实数，方阵6试求的所有特征值。解：的特征多项式为由此可知，的个特征值为（为重特征根）。一、设为正实数,求出满足与之的最小值.解:平面区域的图形如下图中阴影部分:6由此知满足与之的最小值即直线与交点的纵坐标,不难求得其值为.一、设为方阵,且为满秩阵,为实数,试证明:存在正数,使得在时,满秩.证明:考虑矩阵,其中为单位阵.由于关于的方程仅有有限个

2、根(它们为方阵的全部特征根).从而数集为有限集.若,则令为数集中的最小数;若,则可取为任何正数.于是,当时,必有.所以,当时,为满秩阵,从而6为满秩阵.一、设为维欧氏空间中的个向量.又设其中.试证明:为线性无关的,当且仅当为满秩.证明:由已知条件,为维欧氏空间中的个向量.令为以为列向量的矩阵,则为实矩阵,且(表示的转置矩阵).又设为阶方阵,则秩秩,且为阶方阵,从而秩秩.以下证明秩秩.为此考虑齐次线性方程组(1)与(2)令分别表示(1)与(2)的解向量空间,则显然有.另一方面,注意到对任意维实(列)向量,我们有.所以又有.从而,维维.由线性方程组理论可知,秩维=,秩维

3、=,于是得秩秩.6综上讨论,我们有秩秩秩秩.由此知,线性无关,当且仅当秩,当且仅当秩,当且仅当为满秩.一、设为对称方阵,试证明,其中“”表示方阵的追迹(即对角元素之和).证明:设为阶对称方阵则所以由此得.6而所以由此得.最后由柯西-布涅柯夫斯基不等式易知从而得6