浙江大学高等代数试题解答

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1、1。解：由题意可知从而知故2。证明：由分析知。如果有重数大于2的非零根，在有重数大于1的非零根，根据的表达式可知没有非零重根，从而没有重数大于2的非零根3。解：由于，又可知从而知即，从而知4。解；由于从而当时，可逆由于当时，从而的特征多项式为故，又从而，从而，故的最小多项式能整除，从而无重根，从而可对角化5。证明：若时，显然满足。若时，由于，由于为正定矩阵，从而，即，从而等号成立时，，即为对角矩阵时候成立显然为充要条件若小于时成立，且等号成立时候充要条件为对角矩阵。令，则为阶正定矩阵，从而存在且也为正定矩阵。又从而为正定矩阵，且有，根据正定和正定可知：，当等号成立时候

2、，由归纳假设可知，等号成立时候充要条件为对角矩阵，从而可知等号成立充要条件为为对角矩阵。6.证明：由分析考虑的块，则存在实可逆矩阵，有若则，从而，其中则有从而可知7。证明：当时，由即，先让，从而对任何均有，即和有相同的特征多项式。8。证明：由于为幂零矩阵，从而，则存在实可逆矩阵，有，又由于则可知即就有，即9：解；从而的特征值为和，解可得基础解系为正交化后得解可得基础解系为标准化后可得从而可知存在正交矩阵矩阵使十：证明：任取一组标准正交基，令线性变换在此标准正交基下的矩阵分别为，则均为对称矩阵，对于可有，存在正交矩阵有，由于则有，则由于为对称矩阵，从而对于任何均为对称矩

3、阵，则对于，可知存在正交矩阵有令，从而为正交矩阵且若取则可知，取，则可知也是一组标准正交基，则两线性变换在此标准正交基下的矩阵为对角矩阵