资源描述：
《浙江大学2004高等代数解答》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、浙江大学2004高等代数解答一．计算下列行列式.bbb⋯ba123⋯n−1nbbb⋯ab234⋯n1⋯⋯⋯⋯⋯⋯（1）D=；（2）D=345⋯12.nnbba⋯bb⋯⋯⋯⋯⋯⋯bab⋯bbn12⋯n−2n−1abb⋯bbbbb⋯bbbbb⋯bb⋯⋯⋯⋯⋯⋯解：（1）当a=b时，D==0；nbbb⋯bbbbb⋯bbbbb⋯bbbbb⋯babbb⋯ab⋯⋯⋯⋯⋯⋯当a≠b时，D=nbba⋯bbbab⋯bbabb⋯bb1bb⋯ba1bb⋯ab⋯⋯⋯⋯⋯⋯=⎡⎣a+(n−1)b⎤⎦1ba⋯bb1ab⋯bb1bb⋯bb1bb⋯ba000⋯abba−−⋯⋯⋯⋯⋯⋯=
2、⎡⎣a+(n−1)b⎤⎦00ab−⋯0ba−0ab−0⋯0ba−ba−00⋯0ba−100⋯abba−−00⋯0ba−=[a+(n−1)b]⋯⋯⋯⋯⋯ab−0⋯0ba−00⋯0ba−(n−1)(n−2)2n−2=−(1)[a+(n−1)](bbaab−)(−)nn(−3)2nn−1=−(1)[(ab−)+nbab(−)]（2）利用滚动相消法：123⋯n−1n123⋯n−1n234⋯n1134⋯n1nn(+1)D=345⋯12=145⋯12n2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯n12⋯n−2n−1112⋯n−2n−1123⋯n−1n111⋯11−n011⋯11−n1
3、11⋯1−n1nn(+1)nn(+1)=011⋯1−n1=111⋯1122⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯01−n1⋯111−n11⋯11111⋯11−n000⋯−nnnn(+1)=000⋯0n2⋯⋯⋯⋯⋯⋯−n00⋯0n111⋯1−1000⋯−n0nn(+1)=000⋯002⋯⋯⋯⋯⋯⋯−n00⋯00nn(−1)nn−1n+n=−(1)2.2nn×二.设A∈P，fx()∈P[]x.已知f()A可逆.求证：存在gx()∈P[]x使−1nn×(())fA=g()A.（注：P是数域，P表示元素在P中的n阶方阵的集合）2证明：令h(x)=xE-A,故可知h(x)是A特
4、征多项式，先证明引理：(fxhx(),())=1.假设(fxhx(),())=dx()1≠故存在A的特征值λ0，使得x−λfx(),−xλhx()00n且存在ξ∈P，ξ≠0使得Aξ=λξ0令fx()=rxx()(−λ0)，那么f()A=r()AA(−λ0E)ξ==00ξ于是0是的特征值，与f()A可逆矛盾，所以(fxhx(),())=1那么存在ux(),()vx∈P[]x，使得uxfx()()+vxhx()()1=于是u()()AfA+v()()AhA=E由于h()A=0，那么u()()AfA=E，所以−1(())fA=g()A.nn×三.设A，B∈P，
5、求证：(AB)*=B*A*.-1证明：（1）当AB≠0时，这时有A≠0,B≠0，由公式A*=AA，可得-1-1-1(AB)*=AB(AB)=BBAA=B*A*.（2）当AB=0时，考虑矩阵A()λ=A−λEB,()λ=B−λE，由于A、B都最多只有有限个特征值，因此存在无穷多个λ，使得3A()λ≠0,B()λ≠0①那么有上面（1）的结论有(()())*AλBλ=(())*(())*BλAλ②令(()())*AλBλ=(f())λ,(())*(())*BλAλ=(g())λijnn×ijnn×由②式有f()λ=g()λ③ijij由于有无穷多个λ使①式成立，
6、从而有无穷多个λ使③式成立，但f(),λg()λ都是多项式，从而③式对一切λ都成立。ijij特别令λ=0，有(AB)*((0)(0))*=AB=B*(0)*(0)A=B*A*.222四．实二次型fxxx(,,)=x+ax+x+2bxx+2xx+2xx经正交线性替换123123121323TT22(,xxx,)=Pyyy(,,)化为标准型y+2y.12312312（1）求ab,及正交矩阵P；（2）问二次型f是正定的吗？为什么？解：（1）把fxxx(,,)写成矩阵形式123222fxxx(,,)=x+ax+x+2bxx+2xx+2xx123123121323
7、⎡1b1⎤⎡x1⎤⎢⎥⎢⎥=[x1x2x3]⎢ba1⎥⎢x2⎥⎢⎣111⎥⎢⎦⎣x⎥⎦3它的系数矩阵为⎡1b1⎤⎢⎥A=ba1⎢⎥⎢⎣111⎥⎦则λ−1−b−1λE−A=−bλ−a−1=λλ(−1)(λ−2)−1−1λ−1从而4⎧⎪a−2b=3⎧a=3⎨2，解⎨⎪⎩(b−1)=0⎩b=1所以⎡11⎤⎢0⎥23⎢⎥⎢1⎥P=0−0⎢⎥3⎢⎥⎢11⎥−0⎢⎥⎣23⎦⎡111⎤⎢⎥A=131（2）由于⎢⎥，则它的顺序主子式⎢⎣111⎥⎦A=11A=22A=03从而它不是正定的.nn×五.设A，B∈P且rank()rank()A+Β≤n.证明：存在n阶可逆矩阵M
8、使得AMB=0.证明:设矩阵A，B的秩分别为rr,。对于矩阵A，B，存在着可逆的
