浙江大学高等代数试题解答(1)

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1、浙江大学2007年高等代数试题解答一：证明；充分性；若该方程组的系数矩阵行列式为，故可由克拉默法则可知，方程的解均为整数解。必要性；令，由已知可知对于存在整数解存在整数解所以，若取，所以，而为整数组成的矩阵，从而有，即该方程组的系数矩阵行列式为二：解：由于可知三：证明：由于从而四：证明：由于，则必能从中必可取个向量，使它们和一起构成齐次方程的一组基础解系，若，则这和已知矛盾若，则这和已知矛盾从而，从而必能从中必可取个向量，使它们和一起构成齐次方程的一组基础解系五：证明：由已知可知，的最小多项式，从而无重根，即可

2、以对角化，由于的特征值仅为和，而，从而特征值2的重数为，特征值3的重数为，故与相似的一个对角矩阵为六；证明：，由从而是上的线性变换若，则均为可逆矩阵，令，则，所以，即是可逆线性变换若，，根据可知，从而又对任何，有，从而当时，值域的基即为的基，而可做为值域的一组基，即可为的一组基而可知，在这组基下的矩阵为当时，令，而为值域的一组基，为核的一组基，从而扩充后可成为的一组基，显然可知在这组基下的矩阵为七：解：由于从而可知的不变因子为，初等因子为八：解显然那可知由于的特征多项式为，从而的特征值为9（3重）和5由于的基础

3、解系的一组基为：，，，由于的基础解系的一组基为：单位正交化可得令，可知做正交变换，就可使显然可知为正定矩阵，则存在可逆矩阵，有从而可知，且当且仅当时，等号成立从而定义了上的内积从而该内积下的一组标准正交基为可取九：证明：假若为有理数域上的可约多项式，则不妨设存在整系数多项式使，由于，从而无实数根，则也无实根，不妨设，从而在这个不同点，的值均为1，从而，否则，有个为常数，即，则，从而这和已知矛盾，从而假设不成立，从而在有理数域上不可约