高等代数期末试题及解答xxl

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1、西南财经大学2010—2011学年第二学期周二学号评定成绩（分）学生姓名担任教师《高等代数》期末A卷一、填空（每小题2分，共10分）1.设向量空间，则V是n-1维空间。2．A，B均为3阶方阵，A的特征值为1，2，3，，则-843．设二次型正定，则t满足。4．设矩阵A满足条件，则矩阵A的特征值是2，35．三维线性空间V的秩为2，则零度为1。二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分）1．设是n阶可逆矩阵A的属于特征值的特征向量，在下列矩阵中，不是（D）的

2、特征向量（A）（B）-3A（C）（D）2．已知A，B为同阶正交矩阵，则下列（C）是正交阵。（A）（B）A-B（C）（D）3，设A为n阶方阵，则下列结论不成立的是（C）（A）若A可逆，则矩阵A的属于特征值的特征向量也是矩阵的属于特征值的特征向量（B）若矩阵A存在属于特征值的n个线性无关的特征向量，则（C）矩阵A的属于特征值的全部特征向量为齐次线性方程组的全部解（D）A与有相同的特征值4．若A为n阶实对称矩阵，P为n阶正交阵，则为（A）。（A）实对称阵（B）正交阵（C）非奇异阵（D）奇异阵5．设A，B都是正定阵，则

3、（C）（A）AB，A+B一定都是正定阵（B）AB是正定阵，A+B不一定是正定矩阵（C）AB不一定是正定阵，A+B是正定阵（D）AB，A+B都不是正定阵6．当（C）时，是正交阵。（A）（B）（C）（D）7．设A，B均为n阶矩阵，且A与B合同，，则(D)（A）A,B有相同的特征值（B）A,B相似（C）（D）8.上的线性变换T在基下的矩阵为则基在下的矩阵为（A）（A）（B）（C）（D）9．对于阶实对称矩阵，结论（C）正确。（A）一定有个不同的特征值（B）一定有个相同的特征值（C）必存在正交矩阵P，使成为对角矩阵（D）

4、的不同特征值所对应的特征向量不一定是正交的10．设矩阵A，B，C均为n阶矩阵，则矩阵的充分条件是（C）（A）与B有相同的特征值（B）与B有相同的特征向量（C）与B与同一矩阵相似（D）一定有个不同的特征值三、计算题（每小题8分，共64分）1.设n阶矩阵求的特征值和特征向量，并判断A是否相似于对角阵解：所以A的特征值为（3分）代入特征值，A的特征向量为（2分）代入特征值，A的特征向量为（2分）A有n个线性无关的特征向量，所以A可以对角化（1分）2．已知向量是矩阵的逆矩阵的特征向量，求常数k。解：由于向量是矩阵的逆矩

5、阵的特征向量，所以也是矩阵A的特征向量，根据特征值和特征向量的定义，得：，（3分）代入得，（2分）得方程组解得：（2分）所以当时，向量是的特征向量（1分）3．设4维空间的两组基为（A）（B）1）求基（A）到（B）的过渡矩阵2）求向量在（A）下的坐标。解：1）过渡矩阵对矩阵作初等变换化为行最简形得（2分）所以过渡矩阵（2分）2）（2分）故在A下的坐标为（2分）4．设为线性空间的一组基，线性变换T在基下的矩阵为在基下的坐标为，求在基下的坐标。解：（4分）所以在基下的坐标（4分5．设矩阵，已知有3个线性无关的特征向量

6、，是的二重特征值，试求可逆矩阵P，使得为对角阵解：因为有3个线性无关的特征向量，是的二重特征值，故A的属于线性无关的特征向量必有两个，秩(2分)经行初等变换得：解得（2分）所以矩阵，求得特征值对于特征值，解得特征向量（2分）的特征向量所以可逆矩阵则有（2分）6．设矩阵，矩阵，其中k为实数，求对角阵，使B与相似，并求k为何值时，B为正定阵解：先求A的特征值，得得A的特征值（2分）故得B的特征值（2分）所求对角阵（2分）当B为正定阵（2分）7．已知三阶实对称矩阵A的三个特征值为8，2，2，对应特征值的特征向量为，求

7、：（1）对应的特征向量；（2）问A是否与对角矩阵相似，若相似，给出与之相似的对角矩阵，并求出矩阵P，使。解：由题意与正交，令得方程组解得（3分）由于A有三个线性无关的特征向量，所以A与对角矩阵相似,（2分）,使。（3分）8．将二次型化为标准型，并写出变换矩阵。解：二次型的矩阵为，则的特征多项式（1分）由此得的特征值（1分）对于，解齐次线性方程组，得基础解系（1分）对于，得特征向量（1分）正交化，单位化得：（1分）对角阵（1分）所以得正交变换的矩阵为（1分）二次型的标准形为（1分）也可用配方法四、证明题（6分）设

8、是3阶实对称方阵，有n个互异的特征值其，对应的特征向量依次为。令，证明：线性无关证明：（3分）令，分别代入（1），（2），（3）得（3分）