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《高等代数(徐德余)习题及解答》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、习题1.11.判断以下数集是否作成数环。1）S={b5bZÎ};2）S={a¹Î0aQ};3）S={a+Îb3,abZ};4）S={a+Îb3,iabQ}.解：1）错误。不能包含除0以外的整数。2）错误。对差不封闭。3）正确。4）正确。2.填空：1)包含5i的最小数域是或{a+bia,bÎQ}{a+Î5,biabQ}12)包含的最小数域是Q33.证明：如果一个数环S¹{0}，那么S含有无限多个数。证S0¹{}.可设aιS,aS0,是数环l于是kaÎS,,aÎ=S其中kl,0,1,2,3,L故含有无限多个数
2、。4.证明：S={a+Îbia,bQF}是一个数环，是不是数域？证S为数环，则S对于数的加、减、乘封闭，且1=1+0×ÎiS设c+0di¹¹，那么c-di0否则在d=00的情形下，cc=+,与di¹0矛盾在d¹0,的情形下,c=Îdi与cQ矛盾a+bi(a+bi)(c-di)ac+bd+-()bcadi因此==22c+di(c+-di)()cdicd+ac+-bdbcad=+i2222c++dcdac+-bdbcad又由于ÎÎQQ,2222c++dcda+biÎSS,故是数域。c+di5.设F,F均为数域
3、，证明FIUF也是数域，FF一定是数域吗？举例说明。121212证F1IUF2是数域，F1F22不一定是数域。反例：设F1=R,,F={a+ÎbiabQ}因FFËËF,F，所以FFU不是数域122112习题1.21.计算下列排列的反序数：1）75231468；2）n(n-1)L21;3)(2k)1(2k-1)2L(k+1)k.nn(+1)2解1）12；2）;3)k=1+2+LL+k+(kk-1)+(-2)1++22.利用对换把排列12345变成35241。(1,5)(5,2)(2,3)解12345¾¾¾®5
4、2341¾¾¾®25341¾¾¾®352413.选择i与j使1)54278i96j为奇排列；2)2i15j8973为偶排列。解1)i=3,j=12)ij==4,64.设n元排列iiLLi的反序数是k,求iiii排列的反序数。12nnn-1212nn(-1)解p（iiLii）=-kk=-nn-121Cn2习题1.31.在五阶行列式中，项aaaaa,aaaaa应各取什么符号？23315214454251133524解pp（23514）+（31245）=6+aaaaa取2331521445pp（45132）+（
5、21354）=9aaaaa取-42511335242.写出四阶行列式中含且a带正号的所以项。32解aaaaaaaaaaaa1423324111243243132132443.利用行列式的定义，计算以下两个行列式：a00b00cd1）D=;00efg00h0L00100L02002）D=MMMMM.n-1L00000L000n解1)D=acfh-adeh-+bcfgbdeg2)由于行列式只D有个nn元素不为0，且这个元素处于不同行和不同列，所以的展开式只有一项，即(nn--1)(2)p(n-1,nn-2,L
6、,3,2,1,)2D=(-1)nn!=-(1)!24.证明:在n阶行列式D中，若0的个数多于n-=nD，则。0证因为一个nn阶行列式的每一项由不同列的个元素的乘积作成，而题设行列式的非零元至多n-10个，因而没有一项的因子全不为，故每一项全为0，所以该行列式等于零。111L111L5.由行列式=0，证明奇偶排列各占一半。MMM111L证由题设知行列式每一项的绝对值都等于1，又行列式等于零，说明带正号项与带负号的项的个数相等，而由定义，项的符号是：当行标是自然排列时，列标排列为偶排列时带正号，为奇排列时带负号
7、，故奇偶排列个半。习题1.41.计算以下行列式：3102135471364702131）；2）；284232852313-24-204312341491623414916253）；4）.34129162536412316253649135471354713547100解1）原式=+284322843228432100=+01354700-2843200=-148760013-2413--2413240213021302132）原式==-=-31020--861000102--2043060110032134
8、--2134202310231===4（×=-13）-520021000210002--3000131234123412340-1-2-70-1--270-1--273）原式===0-2-8--10004400-440-7--10130043600040=1604）自下而上各行减去上面一行得149161491635793579原式===057911222279111322222.证明以下等式：cadbacdb1)
