徐树方数值线性代数习题解答

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1、徐树方数值线性代数习题解答习题1１．求下三角阵的逆矩阵的详细算法。[解]设下三角矩阵L的逆矩阵为T我们可以使用待定法，求出矩阵T的各列向量。为此我们将T按列分块如下：注意到我们只需运用算法1·1·1，逐一求解方程便可求得[注意]考虑到内存空间的节省，我们可以置结果矩阵T的初始状态为单位矩阵。这样，我们便得到如下具体的算法：算法（求解下三角矩阵L的逆矩阵T，前代法）２．设为两个上三角矩阵，而且线性方程组是非奇异的，试给出一种运算量为的算法，求解该方程组。[解]因，故为求解线性方程组，可先求得上三角矩阵T的逆矩阵，依照上题的思想我们很容易得到计算的算法。于是对该问题我们有如下解题

2、的步骤：（1）计算上三角矩阵T的逆矩阵，算法如下：算法1（求解上三角矩阵的逆矩阵，回代法。该算法的的运算量为）（2）计算上三角矩阵。运算量大约为.（3）用回代法求解方程组：.运算量为；（4）用回代法求解方程组：运算量为。算法总运算量大约为：３．证明：如果是一个Gauss变换，则也是一个Gauss变换。[解]按Gauss变换矩阵的定义，易知矩阵是Gauss变换。下面我们只需证明它是Gauss变换的逆矩阵。事实上注意到，则显然有从而有４．确定一个Gauss变换L，使[解]比较比较向量和可以发现Gauss变换L应具有功能：使向量的第二行加上第一行的2倍；使向量的第三行加上第一行的2

3、倍。于是Gauss变换如下５．证明：如果有三角分解，并且是非奇异的，那么定理1·1·2中的L和U都是唯一的。[证明]设，其中都是单位下三角阵，都是上三角阵。因为A非奇异的，于是注意到，单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵，两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵；上三角阵的逆仍是上三角阵，两个上三角阵的乘积仍是上三角阵。因此，上述等将是一个单位下三角阵与一个上三角阵相等，故此，它们都必是单位矩阵。即，从而即A的LU分解是唯一的。６．设的定义如下证明A有满足的三角分解。[证明]令是单位下三角阵，是上三角阵。定义如下　　　　容易验证：７．设A对称且，并假定经过一步Gauss消去之后，A

4、具有如下形式证明仍是对称阵。[证明]根据Gauss变换的属性，显然做矩阵A的LU分解的第一步中的Gauss变换为其中，将A分块为那么即由A的对称性，对称性则是显而易见的。８．设是严格对角占优阵，即A满足又设经过一步Gauss消去后，A具有如下形式试证：矩阵仍是严格对角占优阵。由此推断：对于对称的严格对角占优矩阵来说，用Gauss消去法和列主元Gauss消去法可得得同样的结果。[证明]依上题的分析过程易知，题中的于是主对角线上的元素满足（1）非主对角线上的元素满足由于A是严格对角占优的，即故从而（2）综合（1）和（2）得即，矩阵仍是严格对角占优阵。９．设有三角分解。指出当把Ga

5、uss消去法应用于矩阵时，怎样才能不必存储L而解出Ax=b？需要多少次乘法运算？[解]用Gauss消去法作A的LU分解，实际上就是对系数矩阵A作了一组初等行变换，将其化为上三角矩阵U。而这一组的初等行变换对应的变换矩阵就是，即如果把这一组初等行变换施加于方程右端向量b上，即有这就是说，方程组和是同解方程。而后者是上三角形方程组，可运用本章算法1·1·2求解。这样我们就不必存储L，通求解方程组，来求解原方程组。算法如下：（1）用初等变换化；（2）利用回代法求解方程组。该算法所需要的加、减、乘、除运算次数为10．A是正定阵，如果对A执行Gauss消去一步产生一个形式为的矩阵，证明

6、仍是正定阵。[证明]不妨设从而有由于非奇异，故对且，构造，及，则由A的正定性有由x的任意性知，正定。11．设并且是非奇异的。矩阵称为是在A中的Schur余阵。证明：如果有三角分解，那么经过步Gauss消去以后，S正好等于（1·1·4）的矩阵[证明]因为有三角分解，所以矩阵A可保证前步Gauss消去法可以顺利完成。即有如下单位下三角矩阵使注意到比较两式便知，，故有12．证明：如果用全主元Gauss消去法得到PAQ=LU，则对任意有[证明]略。13．利用列主元Gauss消去法给出一种求逆矩阵的实用算法。[解]设A是非奇异的，则应用列主元Gauss消去法可得到这里：P是置换阵，L是

7、单位下三角阵，U是上三角阵。于是，通过求解下列n个方程组便可求得于是也就是说，求A的逆矩阵，可按下列方案进行：（1）用列主元Gauss消去法得到：；（2）经求解：得；（3）对X进行列置换得：。14．假定已知的三角分解：A=LU。试设计一个算法来计算的（i，j）元素。[解]求解方程组则x的第i个分量就是的（i,j）元素。15．证明：如果是严格对角占优阵（参见第8题），那么A有三角分解A=LU并且[证明]仿照第8题的证明，容易证明：对于是严格对角占优阵，经过一步Gauss消去后，得到其中仍是严格对角占优阵。