数值线性代数第二版徐树方高立张平文上机习题第三章实验报告

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1、-2-第三章上机习题用你所熟悉的的计算机语言编制利用QR分解求解线性方程组和线性最小二乘问题的通用子程序，并用你编制的子程序完成下面的计算任务：（1）求解第一章上机习题中的三个线性方程组，并将所得的计算结果与前面的结果相比较，说明各方法的优劣；（2）求一个二次多项式，使得在残向量的2范数下最小的意义下拟合表3.2中的数据；表3.2ti-1-0.75-0.500.250.50.75yi10.81250.7511.31251.752.3125（3）在房产估价的线性模型中，分别表示税、浴室数目、占地面积、车库数目、房屋数目、居室数目、房龄、建筑类型、户型及壁炉数目，代表房屋价格。

2、现根据表3.3和表3.4给出的28组数据，求出模型中参数的最小二乘结果。（表3.3和表3.4见课本P99-100）解分析：（1）计算一个Householder变换H：由于，则计算一个Householder变换H等价于计算相应的。其中。在实际计算中，为避免出现两个相近的数出现的情形，当时，令；为便于储存，将规格化为，相应的，变为为防止溢出现象，用代替（2）QR分解：-8--2-利用Householder变换逐步将转化为上三角矩阵，则有-8-，其中，。在实际计算中，从，若，依次计算对应的即对应的，，将储存到，储存到，迭代结束后再次计算，有，（时）（1）求解线性方程组或最小二乘问

3、题的步骤为i计算的QR分解；ii计算，其中iii利用回代法求解上三角方程组（4）对第一章第一个线性方程组，由于R的结果最后一行为零，故使用前代法时不计最后一行，而用运行结果计算。运算matlab程序为1计算Householder变换[v,belta]=house(x)function[v,belta]=house(x)n=length(x);x=x/norm(x,inf);sigma=x(2:n)'*x(2:n);v=zeros(n,1);v(2:n,1)=x(2:n);ifsigma==0belta=0;elsealpha=sqrt(x(1)^2+sigma);ifx(1

4、)<=0v(1)=x(1)-alpha;elsev(1)=-sigma/(x(1)+alpha);endbelta=2*v(1)^2/(sigma+v(1)^2);v=v/v(1,1);endend-8-2计算的QR分解[Q,R]=QRfenjie(A)function[Q,R]=QRfenjie(A)[m,n]=size(A);Q=eye(m);forj=1:nifj

5、j+1);endendR=triu(A(1:n,:));forj=1:nifj

6、线性方程组ex3_1clear;clc;%第一题A=6*eye(84)+diag(8*ones(1,83),-1)+diag(ones(1,83),1);b=[7;15*ones(82,1);14];n=length(A);-8-%QR分解[Q,R]=QRfenjie(A);c=Q'*b;x1=huidaifa(R(1:n-1,1:n-1),c(1:n-1));x1(n)=c(n)-R(n,1:n-1)*x1;%不选主元Gauss消去法[L,U]=GaussLA(A);x1_1=Gauss(A,b,L,U);%列主元Gauss消去法[L,U,P]=GaussCol(A);x

7、1_2=Gauss(A,b,L,U,P);%解的比较figure(1);subplot(1,3,1);plot(1:n,x1);title('QR分解');subplot(1,3,2);plot(1:84,x1_1);title('Gauss');subplot(1,3,3);plot(1:84,x1_2);title('PGauss');%第二题第一问A=10*eye(100)+diag(ones(1,99),-1)+diag(ones(1,99),1);b=round(100*rand(100,1));n=le