高等代数习题解答

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1、教材部分习题解答高等代数/高等学校小学教育专业教材作者：唐忠明//戴桂生编出版社：南京大学ISBN：7305034797习题1.11．证明两个数域之交是一个数域。证：设A、B是两个数域，则0，1∈A，0，1∈B。又所以，，类似可得。从而证得是数域。2．证明：F=(i是虚数单位)是一个数域。证明：设则否则，矛盾！所以由定义A是数域。习题1.2(1)…习题1.3，因为第三行最右的元素非零，其他皆为零，故方程组无解。所以，方程组有无穷多解，通解为2.解下列齐次线性方程组：3.讨论a,b取什么值时下面的线性方程组无解

2、，有唯一解，有无穷多解？习题2.13、证明多项式的乘法消去律:证明：，现在，所以必有，即。（注：这里运用了乘法性质：若，则至少有一个成立。）习题2.21、求除所得的商和余式并用综合除法求f(2),(1)2、证明：证明：先证,,即.再证，，r是零次多项式，，r2是零次多项式，，而，，矛盾！故。补充题适合什么条件时，有1），2）。解1）由假设，所得余式为0，即，所以当时有。2）类似可得，于是当时，代入（2）可得；而当时，代入（2）可得。综上所诉，当或时，皆有。习题2.3P281、求，并求使(1)=x4－x3＋x2

3、＋4x＋1，=x2－x－1；(2)=x5－5x3＋5x＋1，=x3－2x－1；(1)由可得。2、假设，且有，使，证明：是与的一个最大公因式。证由题设，是与的公因式。另设是与的任一公因式，下证，然后由定义就能得到是与的一个最大公因式的结论。，从而由可得，得证。3、求证：，，则．证:，使(1)，使(2)得，，有移项整理，得，，令于是有，从而有．或证：将（1）（2）两式左右分别相乘，得下式即证得：。再证：由（1）两边乘h(x)，得，是的公因式，所以，现在，，显然有。补充题证明：如果，那么。证由题设知，所以存在使，从

4、而，即，所以。同理。再由上题结论，即证得。习题2.41．求在有理数域和实域上的标准分解式。解：在有理数域上，x3＋x2－2x－2=x2（x+1）－2(x+1)=（x2－2）(x+1)实域上的标准分解式是x3＋x2－2x－2=（x2－2）(x+1)=2．设p(x)具有性质：若则必有或证明：p(x)是不可约的．证（反证法）设可约，则有，那么由假设可得或，这是不可能的，因为且。于是得证。习题2.51．证明sinx不能是一个多项式.证：因为都是sinx=0的根，有无穷多个，所以sinx不能是一个多项式.习题2.71.

5、求下列多项式的有理根：1）2x4－3x3－10x2＋17x－31）的多项式的最高次项系数2的因数是,常数项－3的因数是,所以可能的有理根是.因为各项系数之和不为0所以1不是f(x)的根。而奇次项系数之和不等于偶次项系数之和，所以－1不是f(x)的根。由于f(1)=3，f(－1)=－25都不是整数，所以都不是f(x)的根。但都是整数，所以有理数3/2在试验之列。应用综合除法：所以3/2是多项式的一个有理根。2）x3－6x2＋15x－14由定理，多项式只能有整数根±1，±2，±7，±14，由于f(1)=－4，f(

6、－1)=－36，而都不是整数，所以－2，±7，±14都不是f(x)的根。只要试验2即可。代入计算得f(2)=0，所以2是多项式的一个有理根。2．设是整系数多项式且f(0)，f(1)都是奇数，证明:没有有理根．此题错误！反例都是奇数，有有理根。可证没有整数根：证设是的一个整数根，则，由综合除法知，商式也为整系数多项式，于是又因为与中必有一个为偶数，从而与中至少有一个为偶数，与题设矛盾。故无整数根．或设是首项系数为一的整系数多项式且f(0)，f(1)都是奇数，证明:没有有理根．证：因为是首项系数为一的整系数多项式

7、，则有有理根，必为整数根．同上可证，下面的方法稍繁，用到奇偶数的性质，可参考：设，且m是f(x）的一个整数根．∵f(0）是奇数，∴a0是奇数，注意到m

8、a0，从而m是也是奇数．又因为f(l）也是奇数，即是奇数．所以是偶数．由于m是奇数，与奇偶性相同，所以中奇偶数的个数与中的奇偶数的个数相同，所以仍是一个偶数。从而是奇数．矛盾．所以f(x）没有有理根．口习题3.2(P42)1.计算行列式由定义2.用行列式的定义证明：若行列式的一行或一列的元素都为零，则行列式为零.证明：用数学归纳法：n=2时设n－1时成立.n时

9、,设第i行或列的元素都为零，若i=1，显然。若i≠1，展开的n－1阶子式中的原第i行或列的元素都为零，而n－1时命题成立,故证得.口习题3.3(P55)1.利用行列式的性质计算行列式：1）解：2）=，因为右边两列对应成比例。3）解：n=1时，；；n≥3时，原式=0或n=1时，原式n=2时，原式=n≥3时，原式=01.用行列式的性质证明.证：原式左边习题3.4（60页）1、计算行列式：1）解：设行列式