高等代数多项式习题集解答

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1、第一章多项式习题解答1.用除，求商与余式.1）.2）.2.适合什么条件时，有1）当且仅当时.本题也可用待定系数法求解.当时，用去除，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商为.于是有.因此有.2）由带余除法可得当且仅当时.即，即或本题也可用待定系数法求解.当时，用去除，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商可设为.于是有比较系数可得消去可得或3.求除的商与余式.1）解：运用综合除法可得商为，余式为2）.解:运用综合除法得:商为,余式为.4.把表成的方幂和，即表示成的形式.1）；2）3）分析：假设为次多项式，令即为除所得的余式，商为.类似可得为除商所

2、得的余式，依次继续即可求得展开式的各项系数.解：1）解法一：应用综合除法得..解法二：把表示成，然后用二项式展开2）仿上可得.3）因为5.求与的最大公因式1）解法一：利用因式分解因此最大公因式为.解法二：运用辗转相除法得因此最大公因式为.2）.解：运用辗转相除法得（注意缺项系数补零）3），因此6.求使1）解：运用辗转相除法得：因此.且有，于是.2）解：运用辗转相除法得：因此.且有，于是.3）解：运用辗转相除法得：因此且有，于是.7.设的最大公因式是一个二次多项式，求的值.解：运用带余除法有由题意可得，即为的最大公因式.因此有.进一步.要使为的最大

3、公因式的充要条件是即解得8.证明：如果且为与的一个组合，那么是与的一个最大公因式.证明：由可知是与的一个公因式.下证与的任意一个公因式是的因式.由为与的一个组合可知，存在多项式，使得.设是与的任意一个公因式，则.故即因此是与的一个最大公因式.9.证明：的首项系数为1）.证明：存在多项式，使得.所以有.即是与的一个组合.显然有.从而.由第8题结果是与的一个最大公因式.又是首项系数为1的，因此10.如果，不全为零，证明.证明：由,不全为零可得其最大公因式不为零多项式，即又存在多项式，使得.于是.因此.11.如果，不全为零，且，那么.证明：由,不全为零

4、可得由有于是.12.证明：如果那么证法一、由条件可得存在多项式；使得，.两式相乘得.因此有证法二、反证法证明.显然若则存在不可约多项式，使得为与的公因式.因此有且.由的不可约性有或.若，则为与的一个公因式，与相矛盾.若，则为与的一个公因式，与相矛盾.因此不成立，即有13.设都是多项式，而且求证：.证明：由，反复利用第12题结果可得.类似可得再反复利用12题结果可得.14.证明：如果那么证明：方法一.由存在多项式使得.从而有因此有由12题结果结论成立.方法二：用反证法.若则存在不可约多项式，使得为与的公因式.即且.由的不可约性及，有或.若，又，因此

5、有，即，也即为与的一个公因式，与相矛盾.类似可得当时也与已知矛盾.所以15.求下列多项式的公共根：解法一：利用因式分解可得因此.与的公共根为解法二：运用辗转相除法求出与的最大公因式，最大公因式的根即为所求的公共根.因此.与的公共根为16.判别下列多项式有无重因式：1）解：运用辗转相除法可得因此为的三重因式.解法二：试根可得2为的根.因此为的三重因式.2)解：.故无重因式.17.求值使有重根.解法一：要使有重根，则.当即时，因此1为的三重根.当，即时，，为的二重根.解法二：设.因此有由第一个方程有，代人第三个方程有即.因此有或即当时1为的三重根；当

6、时，为的二重根.18.求多项式有重根的条件.解：令.显然当时，0为的三重根.当时，，，.要使有重根，则.即即显然也满足因此有重根的条件是19.如果求解法一：利用整除判定方法，的充要条件是用除，余式为零..因此有，即解法二：要使成立，则1至少是的二重根.因此1既是的根，也是其导数的根.而.故有解法三：利用待定系数法.令因此有解得20.证明：不能有重根.证明：令则因此有从而有.因式只有及.而显然不是的因式.因此有.所以没有重根.21.如果是的一个重根，证明是的一个重根.证明：显然有.由是的一个重根可得是的一个重根，设是的重根，则.本题常见错误证法.错

7、误证法一：由是的一个重根就得出是的一个重根，是的一个重根，是的一个重根，于是从而是的重根.事实上，由是的一个重根推不出是的一个重根，是的一个重根，是的一个重根.如，则，.既不是的根，也不是与的根.错误证法二：由得出是的重根，直接得出是的重根，缺了是与的根验证.22.证明：是的重根的充分必要条件是而证明：必要性.设是的重根，从而是的重因式，从而是的重因式，是的重因式，...，是的单因式，而不是的因式.因此是，，，...，的根，而不是的根.故有而充分性.由而可知是，，，...，的根，而不是的根.因此是的单根，是二重根，依此类推，是的重根.23.举例说

8、明断语“如果是的重根，那么是的重根”是不对的.解：例如，.是的重根，但不是的根.24.证明：如果那么.证明：由可得.从而因此有从而有即.