上海海事大学08-09数值分析B试卷答案.doc

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1、上海海事大学2008---2009学年第2学期研究生数值分析课程考试试卷B（答案）学生姓名：学号：专业：一．填空题（每小格4分）1．设则差商　4　　　　　　0　　　　　　2．高斯型数值求积公式代数精确度为2n+1次。３．二分法求方程f(x)=2在区间[1，3]内的根，进行一步后根　　　所在区间为［１.５，３］进行二步后根所在区间为［１.５，２.２５］　　4．是f(x)在[a,b]上的n+1个互异节点上的Hermite插值多项式,为余项.则=5.设是区间上的一组n次插值基函数。则1；0。　　6.设f(0)=

2、0,f(1)=16,f(2)=46,则f[0,1]=１６f[0,1,2]=７７.求解线性方程组Ax=b迭代法，则迭代收敛的充要条件是　。二．设，试在[-1，1]上寻找一个次数不超过2的多项式，使他为在[-1，1]上的最佳一致逼近多项式。（已知）（８分）解答：所以三．分别写出用Jacobi,及Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组的迭代格式，对任意的初值，Jacob迭代法是否收敛？（10分）解：解：（1）Jacobi迭代格式：Gauss-Seidel迭代格式：3（２）因为，　　　有　　所以Jacobi

3、迭代收敛。（或是A为对角占优，所以收敛）四．给定函数，对于一切，存在且，证明对于的任意，迭代均收敛于的根。（８分）解答：的等价形式，所以，对于，有：所以得到所以迭代收敛。五．　求积公式中系数时，证明此公式　　　是稳定的．（８分）　　　解：任意　　　当　时　　　　　　六．证明：右矩形求积公式。设，试以此构造复合求积公式，并说明该复合求积公式是收敛的。(10分）解：因为：；故：=又：分划[a,b]得：，k=1,2,…n得复合公式：所以：=其中：，且有：七．对于初值问题，若函数在区域，满足3条件，试说明改进的E

4、uler法在条件下是收敛的。并用该方法求解初值问题，讨论绝对稳定性对步长的限制。（１０分）解：因为：所以：，其中由收敛定理得：方法是收敛的。另：由，得。八求系数，使求解常微分方程初值问题的数值解公式的局部误差为（８分）解：设步长，且，。因，故又，比较得，:九.给定，，在区间上有三阶连续导数，证明：这里：（10分）解：以作为插值条件作则：所求插值多项式为所以：所以且;或者：3