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1、上海海事大学2008---2009学年第2学期研究生数值分析课程考试试卷A（答案）学生姓名： 学号： 专业： 一．填空题（每小格４分）1．设则差商 2 0 2．区间[a,b]上的三次样条插值函数S(x)在[a,b]上具有直到2阶导数的连续函数。3．插值型数值求积公式 的求积系数的表达式为＝则 b-ａ 4．非线性方程f(x)=0的牛顿迭代法在单根附近具有 ２阶的收敛速度。5．f(1)=1,f(2)=4,f(3)=7,则f[1，2]= ３ ,f[1，2，3]= ０ 6Jacobi方法是求解 对称矩阵的全部特征值和特征向量的计
2、算方法．7．用松弛迭代法求解方程组时，松弛因子必须在 ［０，２］ 范围内．二．如何对方程组进行调整，使得用高斯-赛德尔迭代求解时收敛。又如取初始向量为，用该方法求近似解，使得。（８分）解答：调整第一与第三方程，既可得对角占优系数矩阵forthequalityofreviewsandreview.Article26threview(a)theCCRAcompliance,whethercopiesofchecks;(B)whetherdoubleinvestigation;(C)submissionofprogramcompliance,investigationorexamin
3、ationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans，所以迭代收敛。得因为，所以最后结果：三．求在[0，1]上的一次最佳一致逼近多项式。 （８分）解：在[0，1]上不变号，故：即故、四．设有一个求积公式 求使以上求积公式的代数精度尽可能高，并指出所达到的最高代数精度．forthequalityofreviewsandreview.Article26threview(a)theCCRAcompliance,whethercopiesofchecks;(B)whetherdoubleinvestigation;(C)s
4、ubmissionofprogramcompliance,investigationorexaminationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans（８分）解(1)当时，；时，左=右解得当时，，当时，，左右．所求的具有最高代数精度为3． 五．是任意首项系数为1的n+1次多项式，证明：（８分）1）：2）：解：1），利用Lagrange插值余项2）利用两边除六．给定方程组 ① 其中，，，且．证明(1)①有唯一的．(2)给定迭代格式 ， ②则有
5、 ， forthequalityofreviewsandreview.Article26threview(a)theCCRAcompliance,whethercopiesofchecks;(B)whetherdoubleinvestigation;(C)submissionofprogramcompliance,investigationorexaminationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans任取，则迭代格式②收敛．（１０分）解(1)只需证明①的齐次方程组x=Bx③只有零解,若③有非零解,则
6、两边取范数得因为,得与条件矛盾,因而①有惟一解,即存在惟一的使得=④(3分)(2)将②和④相减得两边取范数得⑤(4分)(3)由⑤递推得对任意固定的有因而迭代格式②是收敛的(4分)七．证明：左矩形求积公式。设，试以此构造复合求积公式，并说明该复合求积公式是收敛（１０分）解：因为：；故：=又：分划[a,b]得：，k=1,2,…n得复合公式：forthequalityofreviewsandreview.Article26threview(a)theCCRAcompliance,whethercopiesofchecks;(B)whetherdoubleinvestigation;(
7、C)submissionofprogramcompliance,investigationorexaminationofwhetherviewsareclear;(D)theborrower,guarantorloans所以：=其中：，且有：八．试利用四点插值推导数值微分四点公式，其中（１０分）解：===九．对初值问题写出以梯形公式所得近似解的表达式。且当步长时，讨论的收敛性。讨论绝对稳定性对步长的限制（１０分）解：梯形公式为：故：，整理得：所以：。forthequalityofreview
