上海海事大学08-09数值分析B试卷答案

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1、上海海事大学2008-一2009学年第2学期研究生数值分析课程考试试卷B（答案）学生姓名：学号：专业：一.填空题（每小格4分）1.设/'（%）=4,+2x5+4,则差商/［4°,41,...,47］=4/［4°彳,...48］=o2.高斯型数值求积公式b介jp（x）f（x）dx二工4/（乞）a匸°代数精确度为2n+I次。3.二分法求方程Ax）=2x3~5x~i=0在区间［i,3］内的根，进行一步后根所在区间为JX5,3］进行二步后根所在区间为［1.5,2.25］4.H，n］（尤）是./U）在［a,b］上的n+1个互异节点上的Hermite插值多项式卫*-"）为余项

2、f（2”+2）（点）°,•则尺2决（力=（2卅+2）!（兀一兀0）"兀一兀】）2…（兀一兀“）25设//（W=0，1，2・・f）是区间［G0］上的_组“次插值基函数。则Xli（0）=!；£li（0）兀=-2。/=0/=06.设人0）=（）,人1）=16,/（2）=46,则/［0,1］=16/［（）,1,21=77.求解线性方程组x=b迭代法x（A-+1）=Bx（k}+/,则迭代收敛的充要条件是0（A）v12_设/（x）=4*+2/+*+1,试在卜1,1］上寻找一个次数不超过2的多项式p2*（x），使他为/（%）在［-1,1］上的最佳一致逼近多项式。（已知7；（兀

3、）=4/一3兀）（8分）解答：扣（兀）—“；◎）］=尹3⑴=

4、（4x3-3x）所以P2*(a)=2x2+4x+l2~X~20~-1y=331236的迭代格式,8-3三.分别写出用Jacobi,及Gauss-Seidel迭代法求解线性方程组41163对任意的初值，Jacob迭代法是否收敛？（10分）解：解：（1）严）=£（3寸）_2閉+20）Jacobi迭代格式：＜兀2曲）=*（一4州⑷+垮）+33）兀3却）=丄（一6兀严一3垮）+36）Gauss-Seidel迭代格式:严）=*（3寸―兀丫）+20）(A+I)•^9=+（-4州心）+才+33）寸+】）=*（_6西（

5、Z-3无严）+36）（2）因为det"/—丿）=才+0.0340909092+0.039772727,有/?（/）<1所以Jacobi迭代收敛。（或是A为对角占优，所以收敛）厂0

6、0（兀）

7、=

8、1-〃'⑴

9、,对于0

10、1-

11、Afx）<1所以迭代收敛。b”五.求积公式yx）dxA,.fxi）中系数4〉0/=0,1,…〃时，证明此公式aih当-仏）55时是稳定的.（8分）解:任意£>0,取》h-a£出（/（无）-7（无））/=（）n述XII•心)-沧)/=0<^E

12、a

13、=8(b-a)=E/=()六.证明：右矩形求积公式（fMdx=（b-a）o$2设fec［［a,b］,试以此构造复合求积公式，并说明该复合求积公式是收敛的。（10分）解：因为：/（兀）=/@）+/《）（兀一方）；I®:『/（兀）dx=（『©（x-b）dx=（b—a）f（b）一上少F©又：分划［a,b］得：［兀&_

14、.

15、忑］，k二1,2,・・・n得复合公式：ff（x）dx=pf（x）dx=^（xk-仏）/（境）-£5‘厂（C）山k=isk=k=2所以：R=£5:"J伽其中：h=,且h=xk-xk_}a22n有：lim/?=0〃T（）七.对于初值问题{（3）,若函数/（“）在区域y—vh满足儿N=S初值问题y'=—10y,y(O)=s讨论绝对稳定性对步长的限制。(Io分)由收敛定理得：方法是收敛的。h另：儿+i二儿+-[-10yZJ-10(yn-10/?yJ]=(1—1()/?+50胪)儿91由1-10A+50/?2<1,得05{C(s)八求系数徐b,使求解常微分方程初值问题的

16、数值解公式解：设步长爪且儿=>‘(£)，儿_】因yU-研+0(力2)，故儿+1=儿+(a+b)伽：-弘啜+0(胪)九给定Xo，X

17、W[a,b],x0

18、°)2(%