上海海事大学11-12数值分析试b卷答案解析

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1、上海海事大学2011---2012学年第2学期研究生数值分析课程考试试卷B（答案）学生姓名：　　　　　　学号：　　　　专业：　　　　　　　　一．填空题（每小格3分共33分）1.以线性迭代求解Ax=b时，迭代收敛的充要条件是迭代矩阵2.已知，是以整数点0,1,2,…n为节点的Lagrange插值基函数，则：=x，3.设则差商5　0　4.对于求解非线性方程，Newton法的迭代公式是5.Newton-Cotes数值求积公式　　　的代数精度至少具有n___次，当n为偶数时，求积公式代数精度至少具有n_+1__

2、次,且　　1　　　　6.QR法是计算非奇异矩阵的所有特征值和特征向量的计算方法7．求解常微分方程初值问题的Euler二步法公式为，它是2阶方法。一．用基函数构造法，求一个次数不高于4次的Hermite插值多项式，使它满足：，，。（7分）解：解：；插值余项：，，三．假设已知矩阵A的某个特征值的近似值，即有，。试分析用什么方法可以修正特征值的近似值，并得到相应于特征值的特征向量。（6分）解：设，故是B的按模最小特征值。由反幂法可得：，作，即得，则对充分大的，（即为特征值对应的特征向量）且：四．设有方程组Ax

3、=b，其中A为对称正定矩阵，迭代公式试证明：当时，迭代序列收敛。（其中是A的最大特征值）（6分）证明：可以得迭代矩阵，特征值为如，则，故时，，成立，所以迭代收敛。五．设，其中A是，当取何范围值时A为正定。又取何范围值时，Jacobi迭代为是收敛的。（6分）证：因为A正定，所以各阶顺序主子式>0,,,得。如2D-A也正定，则Jacobi迭代收敛，所以,,得六．给定求积公式①试决定A、B和C使其具有尽可能高的代数精度，并指出所达到的代数精度的次数（7分）解　当f(x)=1时　　左＝＝２，　右=A+B+C当f

4、(x)=x时　　左＝＝０，　右=（－A+C）　　　　当f(x)=x２时　　左＝，　右=（A+C）要使求积公式至少具有２次代数精度，其充分必要条件是Ａ，Ｂ，Ｃ满足如下方程组：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　解得　　　，，　代入①得　　　　　　　　　　　　②当　f(x)=x３时　　②的左＝０，右＝０，　左＝右当　f(x)=x４时　　左＝，右＝　　　左≠右综上，当求积公式①中求积系数取　，，　时得到求积公式②，其代数精度取到最高，此时代数精度为３　　　　　　七.求在[-1,1]上的最佳二次逼近多项

5、式。已知。（5分）解因所以八．证明用单步法求解初值问题，可以给出准确解。（7分）解：因：又由taylor展开得：由此：，故当时，该法可得准确解。九．试用关于互异节点和的插值多项式和构造出关于节点的不超过n-1次的多项式。（7分）解：因为，，且都为不超过n-2次的多项式，故，所以为不超n-1次多项式有得到所以十．证明：左矩形求积公式。设，试以此构造复合求积公式，并说明该复合求积公式是收敛的。（8分）解：因为：；故：=又：分划[a,b]得：，k=1,2,…n得复合公式：所以：=其中：，且有：十一．对于初值问

6、题，若函数在区域，满足条件，试说明二阶Runge-Kutta方法在条件下是收敛的。并用该方法求解初值问题，讨论绝对稳定性对步长的限制。（8分）解：因为：所以：，其中由收敛定理得：二阶Runge-Kutta方法是收敛的。另：由，得。