上海海事大学11-12数值分析试A卷答案

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1、上海海事大学2011—2012学年第2学期研究生数值分析课程考试试卷A(答案)学生姓名：学号：专业：一.填空题(每小格2分共30分)=TL+U1.利用Jacobi迭代法求解Ax=b时，其迭代矩阵是一B—()；当系数矩阵A满足严格对角占优时，Jacobi迭代法收敛01242.已知函数f(x)有数据19233则其3次Lagrange插值多式的基函数lo(x)为2一7x41插值⑷■一一一f()余项为(—IX—2)(―4)XXXX4!3.求解常微分方程初值问题=n丄vf(x,y),+=+，y(a)4.5.的Euler公式为y.18—X4设f(x)7

2、x5019f[2Z…2]它是阶方法。x34014,则差商f[5,5,...,5]765仪IH

3、

4、-III对于求解Ax二b，如果右端有b的扰动存在而引起解的误差为xb相对误差/x注“咆叽Gauss型数值求积公式bf(x)dxanAf(x)0iX，的代数精度具有2n+1b次，求积系数的表达式为A=2，且I.(x)dxab-7•幕法是求矩阵按模最特征值和特征向量的计算方法.Jacobi法是计实对称矩阵的所有特征值和特征向量的计算方法对于给定的正数k,Newton2_k=法解二次方程x0的迭代公式为+=一十+*)nXX(Xn1n一f(X)2n设函数

5、f(x)2x已知T4(x)仁试利用切比雪夫多项式最小零偏差的性质，求函数f(x)在区间［畀,1］上的次数低于4的最佳一致逼近。—=—(5分)解：由切比雪夫妄项式最小零偏童的性质得：()f(x)p2(x)T8x8+故：(2弋P2(x)f(x)T(x)481-e-2x4并指岀其具有的代数精度。(7分)d(x)dx9Wof(0)4wj(1)w2f(2)1解：乙(2)*f(x)dLf(OX｛⑴件一o333具有三次代錐精度亏±9+—”+2:.用代切:精度确是亲积公』角求庶数,四.当f(x)具有四阶连续导数时，试求出二阶三点数值微分公式1+—+—=■

6、+口f(Xo)[f(Xoh)2f(Xo)f(Xoh)]的截断误差R(h)o(6分)2h—■zn=o234hhh(4)}{}=•・•()f(Xoh)f(x)hf(x)f(X)f(x)f1,20000f=2!34!•••=•••+h2h:)2I)f(x)]X)f[f(xh)2f(xhf(0000h12解：｛2h(4)2故：R(h)f()(h)五.设li(x)是关于互异节点Xii0,1,2小的Lagrange插值基函数，试证明:1k0nkIi(0)x■0k1,2,n(7分)110nxxxkni(1)01n解：设f(x)的n+1阶导数存在，则有:f

7、(x)1时,叶)上+(xXo)(n1)!=()Xli)(XXn所以有I(0)=Z11nn),XklX()0所以kXiI(0)0XXo)取x0时,n1(0)Xi=ITi0n(1)+X0X1-T—T/w(k1)x(k)六.设有方程组＜Ax=b,其屮A为对称正定矩阵，迭代公式AX(k)(-b):一T；(x)为使迭代序列一乞分)收数到Ax=b炳解，试讨论参数的取值范围。(7

8、(A)•，-故+-==——0=—■2吋，—+-o2n2(A)'成立(B)1,所以迭代收敛。n七.f(x)在［0,2］上具有四阶连续导数，已知f(0)°,f⑴1,f(2)1和f(1)3试用Newton-Hermite插值法求满足上列条件的一个次数不超过3的插值多项式H（x）,并估计误差。（7分）解：H()2(x)xNAx(x1)(x2),Nx2(53_27H(x)X7xX2213A52A2XX，由f（1）3得221(4)■<2M又R(x)=f(x)-H(x)=f(c)x(x"1)(x"2),"(0,2)4!P=+八.对于迭代函数)(2)xxC

9、J},试谕1)当C取何值时，产生的刻局部收敛于2。2)O取何值时迭代至少典有二阶收敛题(7分)饬，戸卩II5净2),+7=十V<(x)12Cx,且连续。由定鶴~T<<1(2)12C21,也即C0时迭代局部收敛。y=+『=2一-->/1X：当(2)12C20,即C=时，迭代至少是二阶收敛的2[=_(b2a)九.设1abc[,],证明：肓矩形求积公式f(x)dx(ba)f(b)af(x)0,试从儿何上说明右矩形求积公式与实际积分轅冰策试以此构造复合求积公式，并说明该复合求积公式是收敛的(9分)解：因为”fjx)f(tpf(戈xb)；bbf(b)

10、dxabf()(xb)dx故：f(x)dxa(b=Z=(ba)f(b)=Z<2a)-f_()-Z2_:当訂(X)0砧》^T(xjdx(b—aa)f(b)X：分划[a,b]得：r