弹性力学 柱体的扭转.doc

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1、第九章柱体的扭转9.1扭转问题的位移解法学习思路:    本节讨论自由扭转问题的位移解法。  首先建立自由扭转的位移假设：一是刚截面假设；二是扭转的翘曲位移与轴线方向坐标无关。通过上述假设，将柱体的扭转位移用横截面的翘曲表示，因此使得问题的基本未知量简化成为翘曲函数F(x，y)。  基本未知量翘曲函数F(x，y)。确定后，通过基本方程，将应力分量、应变分量用翘曲函数表示。  位移表示的平衡微分方程要求翘曲函数满足调和方程。因此只要选取的翘曲函数是调和函数，自然满足自由扭转问题的基本方程。  自由扭转问题的边界条件，可以分为两个部分：

2、侧面边界条件和端面边界条件。  对于自由扭转，侧面边界不受力。根据这一条件，可以转化为翘曲函数与横截面边界的关系。  端面采用合力边界条件，就是端面应力的合力为扭矩T。这一边界条件，采用翘曲函数表达相当复杂。学习要点：   1.扭转位移假设；   2.扭转翘曲函数满足的基本方程；   3.扭转边界条件；   4.扭转端面边界条件；  当柱体受外力矩作用发生扭转时，对于非圆截面杆件，其横截面将产生翘曲。   如果横截面翘曲变形不受限制，称为自由扭转；如果横截面翘曲变形受到限制，就是约束扭转。本章讨论的柱体扭转问题为自由扭转。   对于

3、柱体的自由扭转，假设柱体的位移约束为固定左端面任意一点和相应的两个微分线素，使得柱体不产生刚体位移。柱体右端面作用一力偶T，侧面不受力。   设柱体左端面形心为坐标原点，柱体轴线为z轴建立坐标系。柱体扭转时发生变形，设坐标为z的横截面的扭转角为a，则柱体单位长的相对扭转角为。而横截面的扭转角a=jz。   对于柱体的自由扭转，首先考察柱体的表面变形。观察可以发现，柱体表面横向线虽然翘曲，但是各个横向线的翘曲是基本相同的，而且横向线的轮廓线形状基本不变。根据上述观察结论，对柱体内部位移作以下的假设：1．刚截面假设。柱体扭转当横截面翘曲

4、时，它在Oxy平面上的投影形状保持不变，横截面作为整体绕z轴转动，如图所示。当扭转角a很小时，设OP=r，则P点的位移为2．横截面的翘曲位移与单位长度的相对扭转角j成正比，而且各个截面的翘曲相同,即w=jF(x，y)。F(x，y)称为圣维南(SaintVenant)扭转函数，或者称为翘曲函数。对于位移法求解，需要将平衡微分方程用位移分量表示。因为根据几何方程，应变分量为根据本构方程，应力分量为对于平衡微分方程，在不计体力的条件下，前两个方程自然满足，只有最后一个方程，为将位移表达式代入上式，则 上式为Laplace方程，它表示位移分

5、量如果满足位移表示的平衡微分方程，即Lamé方程时，则扭转翘曲函数F(x，y)为调和函数。下面考察柱体自由扭转的边界条件。   对于自由扭转问题，在侧边界没有载荷作用。   由于sx=sy=sz=txy=0，只有txz和tyz不等于零，因此分为柱体侧面和端面两部份面力边界条件讨论。   柱体的侧边界没有外力作用，而且侧面边界法线方向余弦n=0。因此，面力边界条件只有第三式需要满足，有   将翘曲函数表示的应力分量代入上式，并且注意到柱体侧面法线方向余弦与坐标系的关系，n=0，则如图所示。有   因为                 

6、         所以，柱体侧面面力边界条件转换为翘曲函数横截面边界条件。有 对于柱体的端面面力边界条件，选取柱体任意一个端面，例如右端面，l=m=0，而n=1。因此面力边界条件的第三式自然满足，而前两式成为   面力的合力为外力矩T，则端面面力边界条件为   对于上述边界条件的前两式，由于   同理                       。   所以边界条件的前两式是恒满足的。对于第三式有令                                     则T=jGD，其中D表达了横截面的几何特征，GD称为柱体的抗扭

7、刚度。   总之，柱体的自由扭转的位移解法，归结为在边界条件下求解方程，相对扭转角j由公式T=jGD确定。9.2扭转问题的应力解法学习思路:     柱体自由扭转问题的位移解法，基本方程是翘曲函数表示的调和方程。基本方程的形式简单，但是边界条件的描述，特别是要用翘曲函数表达端面的合力边界条件比较困难。因此典型的扭转问题均是采用应力解法求解的。  自由扭转的应力解法，以扭转应力函数y(x,y)作为基本未知量。主要工作包括利用平衡微分方程建立扭转应力与应力函数的关系；将应力函数表达的应力分量代入变形协调方程，可以确定应力函数y(x,y)

8、满足的基本方程。这是一个泊松方程。   根据扭转问题的侧面面力边界条件，扭转应力函数在横截面的边界为常数。对于单连域问题，可以假设这个常数为零。   对于扭转问题的端面面力边界条件，可以确定外力矩和应力函数的关系。学习要点：1.扭转应