弹塑性力学讲义 第八章柱体的自由扭转问题

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1、第八章柱体的自由扭转问题在第五章的最后我们以圆柱形杆的扭转问题为例来说明空间三维问题的求解过程。（无体力）对于圆杆扭转：（扭矩Mz=MT）MTyMTx应力：x=y=z=xy=0，zxzyII位移分量：u=-kyz,v=kxz,w=0,MTk为单位长扭转角。kGI对于一般等截面杆扭转w0称为自由扭转，为了求解一般等截面杆自由扭转，参考圆杆扭转解进行假设——半逆解。第一节位移法求解对于一般等截面杆扭转，可设位移分量：u=-kyz,v=kxz,（u、v与园杆扭转一致）w=k(x,y)w不能为零,为x,y函数。而(x,y)称

2、为扭曲函数。无体力等截面杆扭转位移表达式已设定。未知量为：k和(x,y)。（工程）应变分量：uvwuv0000xyzxyxyzyxuwkkykzx(y)zxxxvwkkxkzy(x)zyyy应力分量：x=y=z=xy=0，zxGk(y)，zyGk(x)xy所有物理量均由k和(x,y)表示。oMx按位移法求解，基本方程为y平衡微分方程（三个）。两个平衡微分方程自然满足，M而第三个方程为z2

3、2zxzyz0Gk(22)0xyzxy2或=0基本方程仅为一个，求解(x,y)的方程。由基本方程可见(x,y)为一个调合函数。2扭曲函数(x,y)除了满足=0外还需要满足边界条件，同时在基本方程中不出现k。k的确定当然也应通过边界条件来确定。首先考察扭杆侧边的边界条件：（主要边界）在侧边上方向余弦(l,m,n)=(l,m,0)MT-dxx面力：XYZ0odyXinjijnyX0lxmxynzx0Y0lxymynzy0满足ZlmnlGky

4、mGk0zxzyz()(x)xy或：l(y)m(x)0——边界条件用(x,y)的偏微xy分表示。dxdydydx由于lcos(n,x)，mcos(n,y)dndsdndsdxdy则lm代入侧面边界条件，nxdnydnxydxdy边界条件可写成lymxnxdnydn在扭杆端面（如z=0):法线的方向余弦(l,m,n)=(0,0,-1)杆端截面法线方向面力Zz0，满足；而在杆端截面面内的面力分布不清楚，应用圣维南原理，在,x,y方向面力

5、分量不清楚,但要求合力为零AXdA0,YdA0A合力矩为扭矩(YxXy)dAMzA或zxdA0zydA0AA(yx)dAMzxzyzA可以证明当扭曲函数(x,y)在主要边界上力边界条件满足时，则zxdA0和zydA0自然满足。见以下：AA2AzxdAkGA(y)dAkG(yx)dAxxkGx(y)x(x)dxdyxxyy利用格林公式，上式=kGsx(y)l

6、(x)mds0xy而第三个方程为：22kG(xyxy)dAMzAyx——扭矩MT与k和(x,y)的关系。小结：用位移法求解扭转问题归结为求解扭曲函数(x,y)和单位扭转角k。2由=0在V上l(y)m(x)0在杆侧边上求(x,y)xy当(x,y)确定后，利用杆端面条件22Gk(xyxy)dAMAyxz——求k22令DG(xyxy)dA——扭转刚度Ayx当(x,y)和k均找到后，则扭杆的位移、应力均可求出。作业：22ba证明扭曲函

7、数xy能用来求椭圆截面杆22ba22xy1的扭转问题，其中a和b为椭圆截面的半轴长度，并且22ab33Gkab扭矩为Mz22。ab第二节按应力函数求解2按位移法求解扭转问题要求在V内求解调和方程=0，其边界条件lymx（(x,y)的微分形式）但能满足边界条n件的调合函数(x,y)是不易找到的。下面讨论按应力法求解等截面杆扭转问题基本方程以及应力函数法求解等截面杆扭转问题的作法。2.1按应力法求解方程同圆杆扭转类似，设x=y=z=xy=0，仅存在zx(x,y)=xz和zy(x,y)=yz两个应力分量，

8、将应力分量代入应力法的基本方程九个（三个平衡和六个相容方程）zxzyzxzy三个平衡方程：0、0和