《弹塑性力学》第八章 柱体的自由扭转问题

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1、§8-1位移法求解第八章柱体的自由扭转问题§8-2按应力函数求解§8-3薄膜比拟§8-4等截面杆扭转按应力函数举例§8-5薄壁杆的自由扭转6/27/20211在第五章的最后我们以圆柱形杆的扭转问题为例来说明空间三维问题的求解过程。（无体力）对于圆杆扭转：（扭矩Mz=MT）应力：x=y=z=xy=0，位移分量：u=-Kyz,v=Kxz,w=0,K为单位长扭转角。6/27/20212对于一般等截面杆扭转w0称为自由扭转，为了求解一般等截面杆自由扭转，参考圆杆扭转解进行假设——半逆解。§8-

2、1位移法求解对于一般等截面杆自由扭转，可设位移分量：u=-Kyz,v=Kxz,（u、v与园杆扭转一致）w=K(x,y)w不能为零,为x,y函数。而(x,y)称为扭曲函数。6/27/20213§8-1位移法求解无体力等截面杆扭转位移表达式已设定。未知量为：K和(x,y)。（工程）应变分量：u=-Kyz,v=Kxz,w=K(x,y)6/27/20214§8-1位移法求解应力分量：x=y=z=xy=0，所有物理量均由K和(x,y)表示。6/27/20215§8-1位移法求解按位移法求

3、解，基本方程为平衡微分方程（三个）。或2=0两个平衡微分方程自然满足，而第三个方程为：6/27/20216§8-1位移法求解基本方程仅为一个，求解(x,y)的方程。由基本方程可见(x,y)为一个调合函数。同时在基本方程中不出现K。K的确定当然也应通过边界条件来确定。扭曲函数(x,y)除了满足2=0,还需要满足边界条件，6/27/20217§8-1位移法求解首先考察扭杆侧边的边界条件：（主要边界）在侧边上方向余弦(l,m,n)=(l,m,0)面力：满足xyozMTMT6/27/20

4、218§8-1位移法求解yxonMT-dxdy上式也可以用——边界条件用(x,y)的偏微分表示。由于则代入侧面边界条件6/27/20219§8-1位移法求解在扭杆端面（如z=0):法线的方向余弦(l,m,n)=(0,0,-1)杆端截面法线方向面力，满足；合力为零合力矩为xyozMTMT而在杆端截面面内的面力分布不清楚，应用圣维南原理，在,x,y方向面力分量不清楚,但要求6/27/202110§8-1位移法求解上式也可以表示为可以证明当扭曲函数(x,y)在主要边界上力边界条件满足时，则和自然满

5、足。见以下：6/27/202111§8-1位移法求解利用格林公式2=06/27/202112§8-1位移法求解而第三个方程为：——扭矩MT与K和(x,y)的关系。小结：用位移法求解扭转问题归结为求解扭曲函数(x,y)和单位扭转角K。6/27/2021132=0在V上在杆侧边上由求(x,y)§8-1位移法求解当(x,y)确定后，利用杆端面条件——求K令——扭转刚度当(x,y)和K均找到后，则扭杆的位移、应力均可求出。6/27/202114作业：证明扭曲函数能用来求椭圆截面杆的扭转

6、问题，其中a和b为椭圆截面的半轴长度，并且扭矩为6/27/202115§8-2按应力函数求解按位移法求解扭转问题要求在V内求解调和方程2=0,其边界条件((x,y)的微分形式）但能满足边界条件调合函数(x,y)是不易找到的。下面讨论按应力法求解等截面杆扭转问题基本方程以及应力函数法求解等截面杆扭转问题的作法。6/27/202116§8-2按应力函数求解2.1按应力法求解方程同圆杆扭转类似，设x=y=z=xy=0仅存在zx(x,y)=xz和zy(x,y)=yz两个应力分量，

7、将应力分量代入应力法的基本方程九个（三个平衡和六个相容方程）6/27/202117§8-2按应力函数求解三个平衡方程：前两式自然满足，剩下一个控制方程无体力相容方程为：由于设x=y=z=0，=06/27/202118§8-2按应力函数求解则相容方程中有四个自然满足，仅剩下两个控制方程2zx=0和2zy=0按应力法求解基本方程为三个2zx=02zy=06/27/202119§8-2按应力函数求解边界条件：在侧边：方向余弦(l,m,n)=(l,m,0)面力：；前两个方程满足

8、；第三个力边界条件：lzx+mzy=0在端面：方向余弦(l,m,n)=(0,0,-1)面力：满足。6/27/202120§8-2按应力函数求解在x,y方向面力应用圣维南原理6/27/202121§8-2按应力函数求解2.2按应力函数(x,y)求解设应力分量与应力函数的关系为则应力法第一个基本方程（平衡微分方程）自然满足。6/27/202122§8-2按应力函数求解常数C是什么？C和位移法公式中的系数有什么关系?将上式代入应力法的其它两个基本方程，得2=C（泊松方程）由应力函数法和位移法