《柱体的扭转》word版

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1、第九章柱体的扭转知识点扭转位移假设扭转应力函数薄膜比拟薄膜等高线与切应力椭圆截面切应力矩形截面柱体的扭转矩形截面柱体扭转切应力开口薄壁杆扭转局部切应力扭转翘曲函数扭转边界条件扭转应力函数描述的边界条件薄膜垂度与扭转应力椭圆截面杆的扭转椭圆截面翘曲扭转级数解狭长矩形的扭转应力一、内容介绍圆截面杆件的扭转问题通过平面假设可以解决。但是非圆截面柱体扭转时，由于构件轴线不再具有对称性质，因此平面假设不再成立。本章讨论非圆截面柱体的扭转。首先从位移解法入手，讨论横截面的翘曲，建立柱体扭转的基本方程和边界条件；然后，讨论柱体扭转的应力解法；最后应用

2、薄膜比拟探讨柱体扭转的切应力分布形式。位移解法在柱体扭转中，由于横截面面力边界条件的表达形式导致求解困难，因此柱体扭转仍然是应用应力解法。通过扭转应力函数，求解椭圆截面和矩形柱体的扭转问题。二、重点1、扭转位移解法与翘曲函数；2、扭转应力解法与扭转应力函数；3、薄膜比拟法；4、典型柱体扭转问题解。§9.1扭转问题的位移解学习思路:本节讨论自由扭转问题的位移解法。首先建立自由扭转的位移假设：一是刚截面假设；二是扭转的翘曲位移与轴线方向坐标无关。通过上述假设，将柱体的扭转位移用横截面的翘曲表示，因此使得问题的基本未知量简化成为翘曲函数F(x

3、，y)。基本未知量翘曲函数F(x，y)。确定后，通过基本方程，将应力分量、应变分量用翘曲函数表示。22位移表示的平衡微分方程要求翘曲函数满足调和方程。因此只要选取的翘曲函数是调和函数，自然满足自由扭转问题的基本方程。自由扭转问题的边界条件，可以分为两个部分：侧面边界条件和端面边界条件。对于自由扭转，侧面边界不受力。根据这一条件，可以转化为翘曲函数与横截面边界的关系。端面采用合力边界条件，就是端面应力的合力为扭矩T。这一边界条件，采用翘曲函数表达相当复杂。学习要点：1、扭转位移假设；2、扭转翘曲函数满足的基本方程；3、扭转边界条件；4、扭

4、转端面边界条件1、扭转位移假设当柱体受外力矩作用发生扭转时，对于非圆截面杆件，其横截面将产生翘曲。如果横截面翘曲变形不受限制，称为自由扭转；如果横截面翘曲变形受到限制，就是约束扭转。本章讨论的柱体扭转问题为自由扭转。对于柱体的自由扭转，假设柱体的位移约束为固定左端面任意一点和相应的两个微分线素，使得柱体不产生刚体位移。柱体右端面作用一力偶T，侧面不受力。设柱体左端面形心为坐标原点，柱体轴线为z轴建立坐标系。柱体扭转时发生变形，设坐标为z的横截面的扭转角为a，则柱体单位长的相对扭转角为。而横截面的扭转角a=jz。对于柱体的自由扭转，首先考

5、察柱体的表面变形。观察可以发现，柱体表面横向线虽然翘曲，但是各个横向线的翘曲是基本相同的，而且横向线的轮廓线形状基本不变。根据上述观察结论，对柱体内部位移作以下的假设：221、截面假设。柱体扭转当横截面翘曲时，它在Oxy平面上的投影形状保持不变，横截面作为整体绕z轴转动，如图所示。当扭转角a很小时，设OP=r，则P点的位移为2、横截面的翘曲位移与单位长度的相对扭转角j成正比，而且各个截面的翘曲相同，即w=jF(x，y)。F(x，y)称为圣维南(SaintVenant)扭转函数，或者称为翘曲函数。2、扭转翘曲函数满足的基本方程对于位移法求

6、解，需要将平衡微分方程用位移分量表示。因为根据几何方程，应变分量为根据本构方程，应力分量为对于平衡微分方程，在不计体力的条件下，前两个方程自然满足，只有最后一个方程，为将位移表达式代入上式，则上式为Laplace方程，它表示位移分量如果满足位移表示的平衡微分方程，即Lamé方程时，则扭转翘曲函数F(x，y)为调和函数。223、扭转边界条件下面考察柱体自由扭转的边界条件。对于自由扭转问题，在侧边界没有载荷作用。由于sx=sy=sz=txy=0，只有txz和tyz不等于零，因此分为柱体侧面和端面两部份面力边界条件讨论。柱体的侧边界没有外力作

7、用，而且侧面边界法线方向余弦n=0。因此，面力边界条件只有第三式需要满足，有将翘曲函数表示的应力分量代入上式，并且注意到柱体侧面法线方向余弦与坐标系的关系，n=0，则如图所示有因为所以，柱体侧面面力边界条件转换为翘曲函数横截面边界条件。有4、扭转端面边界条件22对于柱体的端面面力边界条件，选取柱体任意一个端面，例如右端面，l=m=0，而n=1。因此面力边界条件的第三式自然满足，而前两式成为面力的合力为外力矩T，则端面面力边界条件为对于上述边界条件的前两式，由于同理所以边界条件的前两式是恒满足的。对于第三式有令则T=jGD，其中D表达了横

8、截面的几何特征，GD称为柱体的抗扭刚度。总之，柱体的自由扭转的位移解法，归结为在边界条件下求解方程相对扭转角j由公式T=jGD确定。§9.2扭转问题的应力解22学习思路:柱体自由扭转问题的位移解法，基本方程