《弹性力学》第九章扭转

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1、第九章扭转1扭转材料力学解决了圆截面直杆的扭转问题，但对非圆截面杆的扭转问题却无法分析。对于任意截面杆的扭转，这本是一个较简单的空间问题，根据问题的特点，本章首先给出了求解扭转问题的应力函数所应满足的微分方程和边界条件。其次，为了求解相对复杂截面杆的扭转问题，我们介绍了薄膜比拟方法。12第九章扭转§9-1等截面直杆的扭转§9-2椭圆截面杆的扭转§9-3薄膜比拟§9-4矩形截面杆的扭转§9-5开口薄壁杆件的扭转扭转23扭转§9-1等截面直杆的扭转一应力函数设有等截面直杆，体力不计，在两端平面内受扭矩M作用。取杆的一端平面为xy面，图示。横截面上除了切应力τzx、τzy以外，其余的

2、应力分量为零将应力分量及体力X=Y=Z=0代入平衡方程，得xMMoyz34扭转根据前两方程可见，τzx、τzy只是x和y的函数，与z无关，由第三式注：空间问题平衡微分方程根据微分方程理论，一定存在一个函数x,y，使得函数x,y称为扭转问题的应力函数。a45扭转注：体力为零时，空间问题应力分量表示的相容方程将应力分量代入不计体力的相容方程，可见：前三式及最后一式得到满足，其余二式要求即b56扭转二边界条件在杆的侧面上，将n=0，及面力分量为零代入边界条件，可见前两式总能满足，而第三式要求注：空间问题应力边界条件即由于在边界上67扭转于是有说明在横截面的边界上，

3、应力函数φ为常量，由于应力函数减一个常数，应力分量不受影响，因此在单连通截面（实心杆）时可设c在杆的任一端，剪应力合成为扭矩78扭转分步积分，并注意φ在边界上为零最后得到d89扭转三位移公式根据应力、应变、位移的关系可以得到积分后得到910扭转其中K表示杆的单位长度内的扭转角.不计刚体位移代入前面右边前两式上两式可用来求出位移分量w。ef1011扭转上两式分别对y和x求导，再相减，得可见前面公式b中的C=-2GK.显然，为了求得扭转问题的解，只须寻出应力函数，使它满足方程b、c和d，然后由a式求出应力分量，由式e和f给出位移分量的值

4、。1112扭转§9-2椭圆截面杆的扭转椭圆的半轴分别为a和b，其边界方程为应力函数在边界上应等于零，故取代入1xyabo1213扭转得求得回代入1式得由1314扭转可得于是得最后得1415扭转最后得到解答于是由横截面上任意一点的合剪应力是1516扭转§9-3薄膜比拟由上节的例子可以看出，对于椭圆形这种简单等截面直杆，我们给出了横截面上剪应力的计算表达式，但却没有指出截面最大剪应力的位置及其方向；而对于矩形、薄壁杆件这些截面并不复杂的柱体，要求出其精确解都是相当困难的，更不用说较复杂截面的杆件了。为了解决较复杂截面杆件的扭转问题，特提出薄膜比拟法。该方法是建立在柱体扭转问

5、题与受均匀侧压力而四周张紧的弹性薄膜之间数学关系相似的基础上。设有一块均匀薄膜，张在与扭转杆件截面相同或成比例的边界上。当在侧面上受着微小的均匀压力时，在薄膜内部将产生均匀的张力，薄膜的各点将发生图示z方向微小的垂度。1617扭转取薄膜的一个微小部分abcd图示，它在xy面上的投影是一个矩形，矩形的边长分别是dx和dy。设薄膜单位宽度上的拉力为T，则由z方向的平衡条件得简化后得TdxTdydxdyabdcxyTTxzqoy1718扭转即此外，薄膜在边界上的垂度显然等于零，即由于q/T为常量，所以以上两式可改写为a而应力函数所满足的微分方程和边界条件为1819扭转其中Gk也是

6、常量，故也可改写为b将式b与式a对比，可见与决定于同样的微分方程和边界条件，因而必然具有相同的解答。于是有即c1920扭转设薄膜及其边界平面之间的体积为V，并注意到则有从而有d由又可得e2021扭转调整薄膜所受的压力q，使得c、d、e三式等号的右边为1，则可得出如下结论：1扭杆的应力函数等于薄膜的垂度z。2扭杆所受的扭矩M等于该薄膜及其边界平面之间的体积的两倍。3扭杆横截面上某一点处的、沿任意方向的剪应力，就等于该薄膜在对应点处的、沿垂直方向的斜率。由此可见，椭圆截面扭杆横截面上的最大剪应力发生在短轴的两端点处，方向平行于长轴。

7、xyabo2122扭转§9-4矩形截面杆的扭转一狭长矩形截面杆的扭转设矩形截面的边长为a和b(图示)。若a»b，则称为狭长矩形。由薄膜比拟可以推断，应力函数在绝大部分横截面上几乎不随x变化，于是有则成为yaxbo2223扭转积分，并注意在边界上即得将代入积分后得故应力分量为由薄膜比拟可知，最大剪应力发生在矩形截面的长边上，方向平行于x轴，其大小为2324扭转二矩形截面杆在狭矩形截面扭杆应力函数的基础上，取任意矩形截面杆应力函数为代入微分方程并使满足边界条件2425扭转得到将上式右边在y