弹性力学-等截面直杆的扭转(例题习题详解)

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1、第七章等截面直杆的扭转要点：（1）等截面直杆扭转问题的基本方程——扭转应力函数（2）按应力求解扭转问题的方法（3）扭转问题薄膜比拟理论§7-1扭转问题中应力和位移§7-2扭转问题的薄膜比拟§7-3椭圆截面的扭转§7-4矩形截面杆的扭转§7-5薄壁杆的扭转§7-6扭转问题的差分解主要内容§7-1扭转问题中应力和位移问题：（1）等截面直杆，截面形状可以任意；（2）两端受有大小相等转向相反的扭矩M；求：杆件内的应力与位移？1.扭转应力函数求解方法：按应力求解；半逆解法——由材料力学中某些结果出发，求解。（3）两端无约束，为自由扭转

2、，不计体力；材料力学结果：（1）（∵自由扭转）（2）侧表面：（7-1）扭转问题的未知量：——为三向应力状态，且不是轴对称问题。扭转问题的基本方程平衡方程：（8-1）将式（7-1）代入，得：（a）——扭转问题的平衡方程相容方程：相容方程：（9-32）——扭转问题的相容方程（c）边界条件：（1）侧面：（2）端面：（∵n=0,）（b）（d）（e）（f）（a）（b）——扭转问题的相容方程——平衡方程基本方程的求解由式（a）的前二式，得——二元函数由式（a）的第三式，得由微分方程理论，可知：一定存在一函数（x，y），使得：于是有：（

3、7-2）（x，y）——扭转应力函数也称普朗特尔(Prandtl)应力函数（7-2）（b）——扭转问题的相容方程将式（7-2）代入相容方程（b），有（7-3）由此可解得：——用应力函数表示的相容方程式中：C为常数。结论：等直杆的扭转问题归结为：按相容方程（7-3）确定应力函数（x，y），然后按式（7-2）确定应力分量，并使其满足边界条件。定解条件——边界条件（1）侧表面：（8-5）0000000000将、l、m代入上述边界条件，有（7-2）又由式（7-2），应力函数差一常数不影响应力分量的大小，表明：在杆件的侧面上（横

4、截面的边界上），应力函数应取常数。（7-4）——扭转问题的定解条件之一。对于多连体（空心杆）问题，在每一边界上均为常数，但各个常数一般不相等，因此，只能将其中的一个边界上取s=0，而其余边界上则取不同的常数，如：于是对单连体（实心杆）可取：Ci的值由位移单值条件确定。（2）上端面：（8-5）00000000由圣维南原理转化为：（c）（d）（e）（c）（d）（e）对式（c），应有同理，对式（d），应有对式（e）：分部积分，得：同理，得：将其代入式（e）：得到：（7-5）结论：等直杆的扭转问题归结为解下列方程：（7-3）泛

5、定方程：定解条件：（7-4）（7-5）应力分量：（7-2）2.扭转的位移与变形由物理方程，得：再几何方程方程代入，有（f）积分前三式，有代入后三式，有又由：得：从中求得：代入f1、f2和u、v得：其中：u0、v0、x、y、z和以前相同，代表刚体位移。若不计刚体位移，只保留与变形有关的位移，则有（7-6）将其极坐标表示：由将式（7-6）代入，有：由此可见：对每个横截面（z=常数）它在xy面上的投影形状不变，而只是转动一个角度=Kz。K——单位长度杆件的扭转角。（7-6）将其代入：有：将两式相减，得：（7-7）（7-8）

6、将其对照式（7-3）：（7-3）可见：（7-9）实际问题中，K可通过实验测得。T§7-2扭转问题的薄膜比拟1.薄膜比拟概念比拟的概念：如果两个物理现象，具有以下相似点：（1）泛定方程；（2）定解条件；则可舍去其物理量本身的物理意义，互相求解确定。扭转问题的薄膜比拟：——由普朗特尔（Prandtl.,L.）提出薄膜在均匀压力下的垂度z，与等截面直杆扭转问题中的应力函数，在数学上相似（泛定方程相似、定解条件相似）。z因此，可用求薄膜垂度z的方法来解等截面杆扭转问题。这种方法，扭转问题的薄膜比拟方法。——为扭转问题提供了一种实验

7、方法2.薄膜比拟方法zT设一均匀薄膜，张在水平边界上，水平边界与某受扭杆件截面的边界具有相同的形状和大小，薄膜在微小的均匀压力下，各点发生微小的垂度z。有关薄膜假定：不能受弯矩、扭矩、剪力作用，只能受张力T（单位宽度的拉力）作用。2.薄膜比拟方法方法说明：取薄膜的一微小部分（abcd矩形），其受力如图，ab边上拉力：ab边上拉力在z轴上投影：cd边上拉力：cd边上拉力在z轴上投影：ad边上拉力：ab边上拉力在z轴上投影：bc边上拉力：bc边上拉力在z轴上投影：zT在z方向上外力：两边同除以dxdy，整理得：或：（7-7）边界

8、条件：（7-11）对于均布压力，有：式（7-7）和（7-11）变为：（a）zT（a）另一方面，扭转问题有：（7-8）（7-4）将式（7-8）、（7-4）改写为：（b）比较式（a）、（b）可见：当薄膜与扭杆横截面具有相同的边界时，变量：与决定于同样的微分方程与边界条件，因而，两者应有相同的解