最新弹性力学--等截面直杆的扭转课件ppt.ppt

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1、弹性力学--等截面直杆的扭转§10-1扭转问题中应力和位移§10-2扭转问题的薄膜比拟§10-3椭圆截面的扭转§10-4矩形截面杆的扭转§10-5薄壁杆的扭转§10-6扭转问题的差分解主要内容§10-1扭转问题中应力和位移问题：（1）等截面直杆，截面形状可以任意；（2）两端受有大小相等转向相反的扭矩M；求：杆件内的应力与位移？1.扭转应力函数求解方法：按应力求解；半逆解法（3）两端无约束，为自由扭转，不计体力；材料力学结果：（1）（∵自由扭转）（2）侧表面：（10-1）扭转问题的未知量：——为三向应力状态，且

2、不是轴对称问题。——由材料力学中某些结果出发，求解。（10-2）（b）——扭转问题的相容方程将式（10-2）代入相容方程（b），有（10-3）由此可解得：——用应力函数表示的相容方程式中：C为常数。结论：等直杆的扭转问题归结为：按相容方程（10-3）确定应力函数（x，y），然后按式（10-2）确定应力分量，并使其满足边界条件。定解条件——边界条件（1）侧表面：（8-5）0000000000将、l、m代入上述边界条件，有（10-2）又由式（10-2），应力函数差一常数不影响应力分量的大小，表明：在杆件的侧

3、面上（横截面的边界上），应力函数应取常数。（10-4）——扭转问题的定解条件之一。对于多连体（空心杆）问题，在每一边界上均为常数，但各个常数一般不相等，因此，只能将其中的一个边界上取s=0，而其余边界上则取不同的常数，如：于是对单连体（实心杆）可取：Ci——由位移单值条件确定。（2）上端面：（8-5）00000000由圣维南原理转化为：（c）（d）（e）（c）（d）（e）对式（c），应有同理，对式（d），应有对式（e）：分部积分，得：同理，得：将其代入式（e）：得到：（10-5）yCD结论：等直杆的扭转

4、问题归结为解下列方程：（10-3）泛定方程：定解条件：（10-4）（10-5）应力分量：（10-2）——应力函数法（10-5）对多连体情形，有其中：——分别为第i个内边界上φ的值和第i个内边界所围的面积。2.扭转的位移与变形由物理方程，得：再几何方程方程代入，有（f）积分前三式，有代入后三式，有又由：得：从中求得：代入f1、f2和u、v得：其中：u0、v0、x、y、z和以前相同，代表刚体位移。若不计刚体位移，只保留与变形有关的位移，则有（10-6）将其用极坐标表示：由将式（10-6）代入，有：由此可见：

5、对每个横截面（z=常数）它在xy面上的投影形状不变，而只是转动一个角度=Kz。K——单位长度杆件的扭转角。（10-6）将其代入：有：将两式相减，得：（10-7）（10-8）将其对照式（10-3）：（10-3）可见：（10-9）实际问题中，K可通过实验测得。小结：平衡微分方程：相容方程：（b）（a）2.扭转问题应力的求解（10-2）（x，y）——扭转应力函数——(Prandtl)应力函数（10-3）（10-4）（10-5）应力函数的确定——侧面边界条件——杆端边界条件——相容方程1.扭转问题按应力求解的基本

6、方程——应力函数法应力的确定（10-6）K——单位长度杆件的扭转角（10-7）3.扭转问题杆件位移与变形——杆件的抗扭刚度或：——扭转杆件的变形——扭转杆件的位移本章前面内容回顾：平衡微分方程：相容方程：（b）（a）2.扭转问题应力的求解（10-2）（x，y）——扭转应力函数——(Prandtl)应力函数（10-3）（10-4）（10-5）应力函数的确定——侧面边界条件——杆端边界条件——相容方程1.扭转问题按应力求解的基本方程——应力函数法应力的确定（10-6）K——单位长度杆件的扭转角（10-7）3.扭

7、转问题杆件位移与变形——杆件的抗扭刚度或：——扭转杆件的变形——扭转杆件的位移§10-3椭圆截面的扭转xyOab1.问题的描述椭圆截面直杆：长半轴为a，短半轴为b，受扭矩M作用。求：杆中的应力与位移。2.问题的求解求应力函数根据：（10-4）及椭圆截面方程：可假设：（a）（b）式中：m为待定常数。将其代入方程（10-3）：得到：（c）利用方程（10-5）：xyOab（c）利用方程（10-5）：（d）式中：代入式（d）,有：可求得：（e）xyOab（e）（c）将其代入式（e）,得：（f）至此，满足所有的条件

8、：（10-4）（10-3）（10-5）求剪应力（1）剪应力分量：（10-12）（2）合剪应力：（10-13）求剪应力（1）剪应力分量：（10-12）（2）合剪应力：（10-13）（3）最大、最小剪应力：对上式求极值，当xyOabABCD（10-14）当a=b时，与材料力学中圆截面结果相同。求杆的形变与位移xyOabABCD由得到：（10-15）——杆件单位长度的扭转角单位长度的扭转角位移分量由（10