全等三角形及其应用专题讲解.doc

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1、全等三角形及其应用主讲：张光华【知识精讲】1.全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫全等三角形；两个全等三角形中，互相重合的顶点叫做对应顶点。互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。2.全等三角形的表示方法：若△ABC和△A′B′C′是全等的三角形，记作“△ABC≌△A′B′C′其中，“≌”读作“全等于”。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。3.全等三角形的的性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等；4.寻找对应元素的方法（1）根据对应顶点找如果两个三角形全等，那么，以对应顶点为顶点的角是对应角；

2、以对应顶点为端点的边是对应边。通常情况下，两个三角形全等时，对应顶点的字母都写在对应的位置上，因此，由全等三角形的记法便可写出对应的元素。（2）根据已知的对应元素寻找全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；4、要熟悉全等三角形的基本图形全等三角形的基本图形大致有如下几种：（1）平移型下图的图形属于平移型图形它们可看成是由对应相等的边在同一直线上移动所构成的，故该对应边的相等关系一般可由同一直线上的线段和或差而证得。（2）、对称型下面的图形属于对称型图形它们的特征是可沿某一直线对折，且这直线两旁的部分能完全重合，

3、重合的顶点就是全等三角形的对应顶点。（3）、旋转型下面的图形属于旋转型图形它们可看成是以三角形的某一顶点为中心旋转所构成的，故一般有一对相等的角隐含在平行线、对顶角、某些角的和或差中。5.判定三角形全等的方法：（1）边角边公理、角边角公理、边边边公理、斜边直角边公理（2）推论：角角边定理6.注意问题：（1）在判定两个三角形全等时，至少有一边对应相等；（2）不能证明两个三角形全等的是，a:三个角对应相等，即AAA；b:有两边和其中一角对应相等，即SSA。全等三角形是研究两个封闭图形之间的基本工具，同时也是移动图形位置的工具。在平面几何

4、知识应用中，若证明线段相等或角相等，或需要移动图形或移动图形元素的位置，常常需要借助全等三角形的知识。-4-ABCDE12图6【分类解析】全等三角形知识的应用1、证明线段（或角）相等例1．（1）如图6，已知AB＝AD，∠1＝∠2，要使△ABC≌△ADE，还需添加的条件是（只需填一个）．图7（2）已知：如图7，点C、D在线段AB上，PC=PD．请你添加一个条件是图中存在全等三角形，并给予证明．所添条件为，你得到的一对全等三角形为．图8例2．已知：如图8，△OAD≌△OBC，且∠O＝70°，∠C＝25°，则∠AEB＝________度.

5、120评注:本题主要考查的知识点是全等三角形的对应角相等和三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.2、与三角形全等有关的应用题三角形的有关知识特别是全等三角形知识在生活中有着广泛的应用．例3．某校二（4）班学生到野外活动，为测量一池塘两端A、B的距离，设计了如下方案：（1）如图9（1）先在平地取一个可以直接到达A、B的点C，可连结AC、BC，并延长AC到D、BC到E，使DC=AC，EC=BC，最后测出DE的距离即为AB之长．（2）如图9（2）先过B点作AB的垂线BF，再在BF上取C、D两点，使BC=CD，接着过点D作BD的垂线DE

6、，交AC的延长线于E，ABCDEABCDEF图9（1）图9（2）测出DE的长即为A、B的距离，阅读后回答下列问题：（1）方案（1）是否可行？，理由是（2）方案（2）是否切实可行？，理由是（3）方案（2）中作BF⊥AB，ED⊥BF的目的是；若仅满足∠ABD=∠BDE≠90，方案（2）是否成立？．BACD图14例4、如图14，小明为了测量河的宽度，他先站在河边的C点面向河对岸，压低帽檐使目光正好落在河对岸的岸边A点，然后他姿态不变原地转了1800，正好看见他所在岸上的一块石头B点，他度量了BC=30米，你能猜出河有多宽吗？-4-例5：如

7、图，已知AD=AE,AB=AC.求证：BF=FC分析：由已知条件可证出ΔACD≌ΔABE，而BF和FC分别位于ΔDBF和ΔEFC中，因此先证明ΔACD≌ΔABE，再证明ΔDBF≌ΔECF，既可以得到BF=FC.3、证明线段平行例6：已知：如图，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分别为E、F，DE=BF，AF=CE.求证：AB∥CD分析：要证AB∥CD，需证∠C＝∠A，而要证∠C＝∠A，又需证ΔABF≌ΔCDE.由已知BF⊥AC，DE⊥AC，知∠DEC＝∠BFA=90°，且已知DE=BF，AF=CE.显然证明ΔABF≌ΔCDE条件已具备，故

8、可先证两个三角形全等，再证∠C＝∠A,进一步证明AB∥CD.【实战模拟】1.下列判断正确的是（）（A）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等（B）有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等（C）有一角和一边对应相等的