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时间:2020-05-02
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1、一道判断题的思考五年级试卷上的一道判断题:两个数相除,除不尽时,商一定是循环小数。此题实际上门道较深,牵涉到数论知识。数从狭义上分为实数和虚数,平方为正数的是实数,平方为负数的是虚数(本文暂且不谈)。实数在日常生活中我们经常碰见,实数包括有理数(能写成分数的数:如2/3,2/11)和无理数(不能写成分数的数,如无限不循环小数)。任何一个有理数都可写成有限小数或者无限循环小数的形式,反之,任何有限小数或无限循环小数都是有理数,有理数包括整数和最简分数。无理数是实数中不能精确地表示为两个整数之比的数,即无限不循环小数,如圆周率、等。对无理数的判断注意以下三点:1、无理数是无限不循环小数,所以只
2、能以四种形式出现 ①开方开不尽的数,如等②化简后含圆周率π的数。“π”虽然是一个常数,但它是无限不循环小数,属无理数③特定结构的数,如0.1001000100001……等④有些三角函数值 2、判断无理数要先化简,不能只看表面形式 3、一些除不尽的分数,如22/7,1/13,1/7等,会误认为是无理数,但事实上是有理数。“两个数相除,如果除不尽,商一定是循环小数”,在整个数学范畴,此题是错的,因为如果把“两个数相除”理解成“两个无理数相除”,商就不一定是循环小数了。如:÷。但在小学阶段,尤其是五年级的学生,只学了自然数、分数、小数、整数等。广而言之,小学阶段我们所认识的数都是有理数,所
3、以,在小学阶段“两个数相除”只能理解成“两个有理数相除”,则此结论是正确的。也许有的人会问2÷3=0.6767…,循环节是67,商是循环小数;而48÷59用计算器算都找不到循环节,商就不是循环小数了。此言差矣,48÷59的商一定是循环小数,为什么没找到循环节,是因为除得位数不够多,只要商的小数位数足够多时,肯定会出现循环节。因为除数是59,根据除法里除数与余数的关系,余数必须比除数小,所以余数最大只能是58,面余数不管怎么不一样,但最多就58种可能,最后肯定有重复的余数出现,那么商就出现循环了。同理,一个整数除以另一个不为0的整数,只要有余数,余数就一定比除数小,余数总会有有限个可能,商就
4、出现循环,所得的商一定是循环小数。推而广之,一个有理数除以另一个不为零的有理数,除不尽时,商一定是循环小数。简而言之,此题若改成“两个自然数相除(除数不为零),如果除不尽,商一定是循环小数”。就切合教材、学生实际了。
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