高数下期末复习内容.doc

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1、期末复习主要内容第七章向量代数与空间解析几何§7.1向量代数一、空间直角坐标系二、向量概念：＝++坐标模＝方向角方向余弦＝；＝；＝三、向量运算：设；；加（减）法＝数乘数量积（点乘）（ⅰ）定义·=（ⅱ）坐标公式·=++（ⅲ）重要应用·=04．向量积（叉乘）（ⅰ）定义＝与和皆垂直，且，，构成右手系（ⅱ）坐标公式=（ⅲ）重要应用=，共线5、混合积（ⅰ）定义（，，）＝（）·（ⅱ）坐标公式（，，）=（ⅲ）表示以，，为棱的平行六面体的体积30§7.2平面与直线一、空间解析几何1空间解析几何研究的基本问题。（1）已知曲面（线）作为点的几何轨迹，建立这曲面（线）的方程，（2）已知坐标x，y和z间的一个方程（组

2、），研究这方程（组）所表示的曲面（线）。2距离公式空间两点与间的距离d为3定比分点公式是AB的分点：,点A,B的坐标为，，则，，当M为中点时，，，二、平面及其方程。1法向量：与平面垂直的非零向量，称为平面的法向量，通常记成。对于给定的平面，它的法向量有无穷多个，但它所指的方向只有两个。2点法式方程：已知平面过点，其法向量＝{A,B,C},则平面的方程为或其中3一般式方程：其中A,B,C不全为零.x,y,z前的系数表示的法线方向数，＝{A,B,C}是的法向量特别情形：，表示通过原点的平面。，平行于z轴的平面。，平行平面的平面。x＝0表示平面。304三点式方程：设,,三点不在一条直线上。则通过A,

3、B,C的平面方程为：5平面束：设直线L的一般式方程为，则通过L的所有平面方程为+，其中6有关平面的问题两平面为：：与间夹角垂直条件平行条件重合条件7设平面的方程为，而点为平面外的一点，则M到平面的距离d：三直线及其方程1方向向量：与直线平行的非零向量，称为直线L的方向向量。2直线的点向式方程（对称式方程）：其中为直线上的点，为直线的方向向量。3参数式方程：304两点式：设,为不同的两点，则通过A和B的直线方程为5一般式方程（作为两平面的交线）：6有关直线的问题两直线为::垂直条件平行条件四、平面与直线相互关系平面的方程为：直线L的方程为：L与间夹角L与垂直条件L与平行条件L与重合条件L上有一点

4、在上§7.3曲面与空间曲线一、曲面方程301、一般方程2、参数方程二、空间曲线方程1、一般方程2、参数方程三、常见的曲面方程1、球面方程：设是球心，R是半径，P（x，y，z）是球面上任意一点，则,即。2.旋转曲面的方程（ⅰ）设L是平面上一条曲线，其方程是L绕z轴旋转得到旋转曲面，设P（x，y，z）是旋转面上任一点，由点旋转而来（点是圆心）.由得旋转面方程是（ⅱ）求空间曲线绕z轴一周得旋转曲面的方程第一步：从上面联立方程解出第二步：旋转曲面方程为绕y轴一周或绕x轴一周的旋转曲面方程类似地处理3、二次曲面曲面名称方程曲面名称方程椭球面旋转抛物面30椭圆抛物面双曲抛物面单叶双曲面双叶双曲面二次锥面椭

5、圆柱面双曲柱面抛物柱面四、空间曲线在坐标平面上的投影：曲线C的方程曲线C在平面上的投影：先从曲线C的方程中消去Z得到，它表示曲线C为准线，母线平行于Z轴的柱面方程，那么就是C在平面上的投影曲线方程。曲线C在平面上投影或在平面上投影类似地处理30第八章多元函数微分学§8.1多元函数的概念、极限与连续性一、多元函数的概念1．二元函数的定义及其几何意义设D是平面上的一个点集，如果对每个点P(x,y)∈D，按照某一对应规则f，变量z都有一个值与之对应，则称z是变量x，y的二元函数，记以z=f（x，y），D称为定义域。二元函数z=f（x，y）的图形为空间一块曲面，它在xy平面上的投影域就是定义域D。例如

6、二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D就是xy平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。2．三元函数与n元函数：空间一个点集，称为三元函数。它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。二、二元函数的极限：设的邻域内有定义，如果对任意只要则，称当的极限存在，极限值为A。否则，称为极限不存在。值得注意：是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂，但只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值不象一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。三、二元函数的连续性1．二元函数连续的概

7、念若若内每一点皆连续，则称在D内连续。302．闭区域上连续函数的性质定理1（有界性定理）设在闭区域D上连续，则在D上一定有界定理2（最大值最小值定理）设在闭区域D上连续，则在D上一定有最大值和最小值定理3（介值定理）设在闭区域D上连续，M为最大值，m为最小值，若则存在§8.2偏导数与全微分一、偏导数与全微分的概念1．偏导数二元：设，三元：设，2．二元函数的二阶偏导数：设，，3．全微分：设增量若当则