垂直于弦的直径.pdf

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1、解题技巧与万·融·¨!=【=n蟛一⋯静●垂直于弦的直径◎陆彩珍(广西南宁市横县云表镇第一初级中学530023)垂直于弦的直径是人教版九年级《数学》上册第二十四评注：本题主要是借助切线与半径的垂直关系以及垂径章第二节的教学内容．简称为垂径定理．它是在学生学习了与弦的垂直关系．把两个圆的半径转化到同一个直角三角形轴对称图形、等腰三角形、直角三角形和圆的有关概念的基中，然后简洁地求出所要求得面积．以此题为例．讲了一种利础上进行教学的．垂径定理是圆众多知识中的一个重要的性用垂径定理求解其他关于面积、周长等问题，解决这类问题质，利用垂径定理可以

2、简化线段的计算、线段相等的证明以的前提是熟练地掌握垂径定理以及和本题有关的知识，然后及弧相等的证明，等等．综合两者清晰分析出解决此问题的方法．最后进行求解．垂径定理的内容是：垂直于弦的直径平分这条弦．并且三、利用垂径定理进行探究性研究平分这条弦所对的两段弧，其中主要涉及三个量，分别为：直例3如图3所示，AB是圆D的弦．径、弦和弦心距．根据这个定理，我们可以得到两个推论，推其中OC，OD为它的弦，并且它们分别交论一：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分这弦AB于，F两点，有E=BE现在请你条弦所对的两段弧；推论二：弦的垂直平分

3、线经过圆心，并且找出线段OE与OF的数量关系，并给出平分这条弦所对的弧．证明．有关垂径定理的应用，主要有以下几个方面：解OE和OF的关系为：OE=OF，图3一、利用定理求解圆的半径具体证明过程如下：例1如图1所示，在圆0中．圆心到过圆心0向弦AB作垂线，垂足为点，则由垂径定理弦A曰的距离0D为4cm，且弦AB=10em．可知AM=MB，又因为题目中所给条件AE=BF．所以有求圆D的半径．EM=AM—AE=MB～BF：MFt、解如图所示：在圆0中连接OA．所成立．以，△AOD为直角三角形．又因为弦AB=又因为AEMO和AFMO都为直角三

4、角形，所以，根据勾图110，所以，根据垂径定理可得：D=BD=5cm．股定理可知．在RtAEMO中．D=0_+删即在Rt△AOD中，由勾股定理可得：同理可得0：D+网OA=0D+AD=4+5=41．根据(1)式可得OE=0故结论得证．可得OA=C41(cm)．评注：在本例中，题目中所给的条件是线段间的等量关即求得圆D的半径r=x／a1(cm)．系，以及相关的图形信息，最终要求我们去探究线段之间的评注：在利用垂径定理解题时．主要有三种类型的题目：数量关系．在求解这样的问题时，我们往往需要作辅助线，然①已知弦长和弦心距，求圆的半径，正如例

5、l所示．后构造出垂径定理的相关条件及结果．最后利用勾股定理等②已知弦长和圆的半径，求弦心距的长度．等理论探究出0F和D之间的数量关系．这种类型的题目③已知圆的半径和弦心距，求圆的弦长．充分地展现了垂径定理在解决探究性问题中的作用．这应该在这三种情况下，无论出现哪种题型，我们主要是首先引起我们重视及关注．利用垂径定理，得到平分弦，然后再利用在直角三角形中地四、利用垂径定理确定圆心勾股定理，即可求解问题．在某些情况下，有的问题是这三种例4如图4所示．要把破残的圆情况的综合，所以，在求解这类题目的时候，一定要严格细心片复制完整，已知弧上三点

6、A，B，C．地观察题目．最后利用所学知识进行求解．(1)用尺规作图法，找出弧矾G二、利用定理求解面积所在圆的圆心0；(保留作图痕迹，不例2如图2所示，在圆0和圆Q中．写作法)图4其中圆Q中长为16em的弦AB平行于直AB(2)设AABC为等腰三角形，底边BC=10era，腰AB=6emr、I．．r径CD且与圆O相切，求圆p的面积减去CD求圆片的半径R；(结果保留根号)圆0的面积．(3)若在(2)题中的满足n

7、：作AB，AC的垂直平别为点P和点M，又因为AB∥cD，所以，r=OP=QM．分线．标出圆心0．如图(5)所示．根据垂径定理可知，AM=：ha8=8em，在RtAQBM二(2)(3)略．图5中，根据勾股定理可得MB=QB一p=QBOU．综上可知，垂径定理在初中阶段的用处是十分广泛的，又因为所求的面积．s为：其地位也是十分重要的，它的重要性不仅仅表现在圆的领域S=盯(R一r2)=盯(QB一0)=竹(QB一QM2)中求解半径、弦心距和弦的长．更重要的是在于和其他知识=wMB=85订=64叮r．相结合，以及和现实生活相结合，这样更能够体现出

8、“学以致故所求的面积5为64订．用”的教学理念．数学学习与研究2015