部分区间删失数据下指数分布中MLE的相合性.pdf

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1、部分区问删失数据下指数分布中MLE的相合性蔡定教，易景平。(1．北京师范大学数学科学学院，北京100875；2．安阳师范学院数学与统计学院，河南安阳455000)[摘要]部分区间删失数据包括精确数据以及区间删失数据，在慢性病研究中有广泛的应用．本文主要考虑在具有1类部分删失数据下指数分布中最大似然估计的相合性，在一定的正则条件下证明了最大似然估计的强相合性．[关键词]区间删失；相合性；最大似然估计；紧集；生存函数[中图分类号]O213．9[文献标识码]A[文章编号]1671—5330(2015)02

2、—0006—02部分区问删失数据在实际生活中有广泛的应密度函数为X)：Aexp{一A}，>0．用．如在慢性病的研究中，有些病人开始患病的现假定我们有1类部分删失数据．假设n，n年龄是已知的；而另一些人只知道现在已患病，因分别为精确值和删失数据的个数，并令=凡+而只知道患病时刻在当前时刻之前；还有一类未n．部分删失数据的观测值为{，{6，患病的可疑个体，则只知患病时刻在当前时刻之．在给定模型下似然函数为：-后．更一般的情形发生在跟踪研究中，如亚类心nIrt2(A)=IIAexp{一ATi}lⅡA(ex

3、p{-A})吩(1绞病和冠心病的研究中．对于一类病人，心绞病．或冠心病的发病时刻是清楚的，但是对另一些病一exp{一A})‘一0’．人则只在某两个时刻进行临床检测．此外在丹麦对数似然函数为：nln2的糖尿病研究中的数据也是既有精确值也包含区f(A)=／21ln(A)一A∑+∑[(一A)间删失数据．我们知道在仅有精确值的情形，指数模型中+(1—6)In(1一exp{一A})]．未知参数的最大似然估计具有强相合性．本文中最大似然估计定义为上述似然函数在以上我们考虑在具有1类部分区间删失数据情形下最的最大

4、值点．现作如下基本假设：大似然估计的强相合性．1类部分删失数据具体假设1真值A为的内点且以为紧集．描述如下：对于一些研究对象，我们能观察到它们假设20

5、1；否则6：0．Ef()≥Ex)．1生存分析模型当．厂为严凸时，上式中等号当且仅当P(X=EX)设生存分析模型服从参数为A的指数分布．=1时才成立．则生存函数为s()=exp{_A}，>0，相应的Hoefding不等式：设一，是个独立随机[收稿日期]2015—02—02[作者简介]蔡定教(1979一)，男，浙江温州人，北京师范大学博士生，讲师，主要从事生物统计的研究。第2期蔡定教，易景平：部分区间删失数据下指数分布中MLE的相合性7变量且P(X∈[a，b])=1，1≤i≤n，S=X+再根据对数函数的

6、凹性得⋯+，则对任意t≥0，有／2￡、log[·+{一。·(3)P(Sn-E[Sn]【一对A。的任一开领域Ⅳ0，Ⅳ0在以中的余集为3相合性一紧集．因而这一余集的任意开覆盖{，A隹定义I：对指数型分布族，最大似然估计MLENo}有有限的子覆盖{--，NA}．若隹No，则存在1≤Jj}≤m使得∈，从而有(；)的定义如下：MLE：J似然方程的唯一解，若解存在≥()，对任意成立．利用(3)得【任意定义，若解不存在引理1设总体的分布为自然指数型族豆log[{X，0)=C(0)exp(OT())，，⋯，为抽。自

7、该总体的样本，则以概率1当n充分大时，似然】．方程nc(o)／c(e)+∑T(X)=o有唯一解，且右边和事件中每一项的概率为一致有界独立随机变量的平均值非负的概率．而由(2)知这些随机该解为0的强相合估计。变量具有负的期望．利用Hoeffding不等式，每一定理1在上述假设下我们有一A。a．项的概率具有阶e，这里取为2／(M—log(1证明：假设天为基于精确值{的最大似一))，其中M=max(叼1≤K≤m)，P为某然估计，则一Aa．令戈=(，U)，且一负数且(2)中的期望凡>N在时小于P．进一()=

8、p(x；)，()=p(x；)，步有这里P(；A)=(exp{一A})(1一exp{一A})“．令E为真实参数为A。时的期望，则对(Ⅳ0)<∞·任意A≠Ao，0<<1，由Jessen不等式得利用Borel—Cantelli引理及假设2知以概率1Elog1+{一·o．∈No，当n—}。。时．由Ⅳn的任意性即得证．由P(；A)关于A的可识别性知不等号严格成立，即[参考文献]Elog1+{老姑一)】<0·(1)[1]JongS．Kim．MaximumLikelihoodest