圆的一组有趣规律的探究及推广-论文.pdf

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1、22上海中学数学·2013年第12期圆的一组有趣规律的探究及推广362321福建省南安市国光第二中学黄清波点P(x。，Y。)与圆z+。===r。的位置关系有三证明：如图2，依题意，设动弦两端点分别为种情况，无论点P在何处(除非与圆心重合)，。+A(z，Yn)，B(e，)，且分别引圆的两切线的交点—r都表示一条确定的直线，那直线37。+。Q(xQ，YQ)．—r与圆．r。+Y===r到底存在什么关系?笔者经由结论2知，直线AB的方程为：,78Q,78+yQy—研究后得出如下结论．r。，又点P在直线AB上，所以，。+YQY。一r，结论1点P(xo，yo)在圆_z

2、+一，上上时，直线所以得点Q的轨迹方程+．y。．y—r．即证．z+一，上表示以P为切点该圆的切线方程．推论1点P(x。，。)是除原点外的任意一点，证明：利用导数的几何意义，过点P作圆+一r的非直径的动弦，从每一条由Iz。+y一r，方程两边对求导，得2+弦的两端分别引圆的切线，两切线的交点的轨迹就2yy一o，即y一一，是直线0+o===r．椭圆通过伸缩变换可以变成圆，而圆的性质是所以圆。+=r在点P(。，y。)处的切线方我们所熟知的，能否类比圆的以上规律，推出椭圆相程为y-y。一(一)(x-x。)，应的规律呢?Yo整理得。+。—+一r2，即证．类比以上的证明

3、方法，抓住这几种情形层层深结论2点P(x。，)在圆+一外时，直入、环环相扣的内在联系，容易证明以下结论．线．To+。—r。表示从点P向该圆引两条切线的结论4点P(。，。)在椭圆+一1(口>6切点弦所在的直线方程．>O)上时，直线xox~_yoy一1表示以P为切点该椭证明：如图1，依题意，设两切线对应的切点分，0．，别为A(xA，YA)，B(xB，YB)，圆的切线方程．由结论1知，两切线的方程分别为：z+yny结论5点P(。，Yo)在椭圆xzyZT=：=l(a>b=r，B37+．yB．y=r，又两切线过点P(。，。)，所以A。+YAY。一>o)外时，直线+一

4、1表示从点P向该椭圆r。，38BXo+Byo=r，aD．又过A，B两点的直线只有一条，引两条切线的切点弦所在的直线方程．所以z。+—r是切点弦AB所在的直线结论6点P(。，。)在椭圆xzyZT一1(＆>6方程，即证．>O)内时，过点P作不过该椭圆中心的动弦，从每结论3点P(z。，Y。)在圆Iz+y。一r。内时且一条弦的两端分别引椭圆的切线，两切线的交点的不与圆心重合，过点P作该圆的非直径的动弦，从每一条弦的两端分别引圆的切线，两切线的交点的轨迹就是直线+一1．轨迹就是直线。+—r。．推论2点P(x。，Y。)是除原点外的任意一点，PQ过点P作不过椭圆+一1(

5、n>6>0)中心的动弦，从每一条弦的两端分别引椭圆的切线，两切线的交点的轨迹就是直线+一1．图1图2