三角“三兄弟” 解题有帮助-论文.pdf

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1、高中数学教与学2014年。短文集锦o值分角‘‘兄弟”翩题青帮助王秋霞(江苏省泰州市高港中等专业学校，225300)·‘三角函数是高中数学的一个重点内容，．(sina+COSO／)在其他学科领域中有着广泛的应用．因此，在：1+2sin⋯s=，对三角函数的学习过程中，除了要注意对基．7本内容的学习理解，还要注意在学习的基础’sn+c0s=±一’··上多思考、多体会、多总结，这样才会有提高．·譬如，在学习“同角三角函数基本关系”．．sin4a—c0840／=去或一7．之后，可以发现sinO／+COSO／，sinO／一COSO／，评注由sina+C08O／或sinO／一C08a求sinO／COS

2、Ot之间存在着密切的联系，因此我们sinO／COSO／，可结合平方关系sinO／+COSO／=1将其称之为三角“三兄弟”，三者知其一便可直接求得；而在sinO／+COSa与sin—COSO／求其二，利用它们之间的关系，可以解决一些之间相互推求时，则应结合角O／的范围来确定三角问题．现结合一些例子加以说明．符号，否则要保留正负号．1．已知sinO／+COSO／或sinO／一COSO／的值，2．已知sinO／CO~的值，求sinO／±COS的值求sinO／C08O／的值．1例2已知sinc。sa=一÷，詈<<例1已知sinO／一c0sO／=÷，求下列各订，习之cos—sinO／．式的：分析结

3、合(C08O／一sinO／)=1—)sinO／COSO／；(2)sinO／一COSO／；2sinO／COS进行转化，注意结合O／的范围来确sinO／一COSO／．定COSO／一sinO／值的正负性．析应用关系式(sinO／±COSO／)=1解’．。(COSO／一sinO／)：COS一±2sinO／COSO／进行转化．2snO／COSO／+sin20／=·一2×(一÷)=÷，解(1)‘．。(sinO／一COSO／)l一2sinac。s=1=，又-‘詈<<‘．cosa—sin<0，．12’‘吼“os。．．COStit—sinO／=一··(2)sinO／一COSO／=(sinO／一COSO／)

4、评注sinO／+COS、sinO／一COS、sin(sin+sinO／COS+COSO／)0／C08，可通过(sin±co8ot)=1±2sin·COSa将其联系起来，现有记忆口诀“三角三兄=÷(，+)=弟，平方在一起，开方看范围，符号要精确”．(3)sinO／一C08O／3．三者结合，灵活运用=(sina+COS)(sin—COSa)例3已知sin、COS是方程8+6kx=(sinO／一COSO／)(sin+COSO／)．+2J}+1=0的两个根，求实数k．·42·第4朔高中数学教与学分析注意将韦达定理_L-j同角三角函数弟”结合到了一起，应用同角三角函数的关系的关系结合起来运用，须注

5、意一元二次方程式解决问题，注意隐藏条件△≥0．存在实数根的条件是△≥0．例4求函数=sin+COS+解由韦达定理，得sinXCOS+1的最值．分析函数式中有“sin+COS”与f咖ico一，“sinXCOS”，联想到三角“三兄弟”，设法通过1【．2+1换元的方法将函数转化为二次函数．“a。。。——_一‘·解令t：sin+c0s：√sinl+．·sin+COS=(sin+COS)一2sinI~eOSa子)，∈[一，sin⋯s=．=(一)一=，·．．y=2++专(t+专)．·后=一10或后=2．．．结合关于t的二次函数在[一，]上的·’．方程8k+6kx+2k+1=0有两个根，·图象，可求得

6、函数的最大值为÷+，最小值．．△=36k一32(2k+1)≥0．为0．当矗=一时，满足△≥0，当=2时，评注对于三角三兄弟往往联想到通过△<0．实数=一．三角中的平方关系式将它们联系起来，再通过换元的方法将之转化为二次函数的最值问评注本题是三角与一元二次方程的综题进行求解，须注意的是新变量的取值范围．合应用题，通过韦达定理有机地将三角“三兄．_●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯⋯0-·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯-o⋯·●⋯·●⋯⋯o-·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●⋯·●·(上接第29页)·．．)=．·<<詈．是增函数．(当<一1时，2

7、a<0—1<口+1，．‘．y=(3)方程厂()一2a)=0的解即为方程-厂()在(一，2a)上单调增，在(2口，n一1)上单调，()=2a)的解．减，在(。一1，+。。)上单调增．①当一1≤o≤1时，函数)，=)在R上是·增函数'．．．关于的方程，()=2a)不可能有．．当n一1)<2a)<，(2a)时，关于的方程)=2a)有三个不相等的实数根，即三个不相等的实数根．一(n一1)1时，即2a>口+l>一l，