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1、上课手机关了吗？1第五章矩阵的特征值与特征向量1.为A的特征值复习：对应的特征向量：2.特征值和特征向量的性质：——定义计算An×n有特征值,则A可逆时,A－1有特征值;A*有特征值有特征值2第五章矩阵的特征值与特征向量X1、X2是A的属于的特征向量，则非零线性组合k1X1＋k2X2也是A的属于的特征向量A的互不相同的特征值对应的特征向量线性无关.推论：一个特征向量不可能属于不同的特征值.(即同一个矩阵不同的特征值所对应的特征向量不同)A的k重特征值所对应的线性无关特征向量至多有k个.即:代数重数为k的特征根几何
2、维数至多为k注：由矩阵A各特征值对应的线性无关特征向量构成的向量组线性无关(P125：定理4-11)3第五章矩阵的特征值与特征向量4.3矩阵相似对角化一、相似矩阵引例求P－1AP=B1.定义设An×n,Bn×n,若存在可逆阵P,使P-1AP＝B,则称A相似于B，记A~B.2.性质1)矩阵的相似关系是一种等价关系反身性(A~A)、(因为E－1AE＝A)(由P－1AP＝B得:(由P－1AP＝B,Q－1BQ＝C得:传递性.Q－1(P－1AP)Q＝(PQ)－1APQ＝C)，具有对称性(A~BB~A)、(A~B,B~CA~C
3、)A＝PBP－1＝(P－1)－1BP－1)2)相似矩阵的行列式相等3)相似矩阵或都可逆或都不可逆,可逆时逆阵也相似(P－1AP＝B两边求逆矩阵得：P－1A－1P＝B－1)4)相似矩阵的幂仍相似(P－1AP＝B得:一般地若A~B，则f(A)~f(B)5)相似矩阵有相同的特征多项式、特征值6)相似矩阵有相同的迹(因为迹等于特征值之和)7)相似矩阵有相同的秩Bk＝(P－1AP)(P－1AP)…(P－1AP)初等变换(∵AB)＝P-1AkP)P－1AP＝BP127例4－10二、矩阵可对角化条件相似矩阵有许多共同性质。对An
4、×n，任给可逆阵P，有P－1AP＝B～A，故与A相似的矩阵很多，从其中找一个最简单的矩阵作为这一相似类的代表(是什么？怎么求？相应的P?)与单位矩阵、数量矩阵相似的矩阵只有它自己。(P－1(aE)P＝aE)仅次于数量矩阵aE的简单矩阵即对角矩阵，A能否相似于一个对角矩阵(称A可对角化)？——定理1A有n个线性无关的特征向量即A的特征值6第五章矩阵的特征值与特征向量A有n个线性无关的特征向量记线性无关=＝7第五章矩阵的特征值与特征向量A有n个线性无关的特征向量P可逆(P可逆)8第五章矩阵的特征值与特征向量定理2.An
5、×n有n个不同特征值(充分不必要)定理3.A的每一个ki重特征值对应ki个线性无关的特征向量An×n相似于对角矩阵由定理1,矩阵A是否与一对角矩阵相似,只需考察A是否有n个线性无关的特征向量；若求出A的n个线性无关特征向量,令就能使为对角阵,对角阵主对角线上的元素依次为所属的特征值即每个特征值的代数重数等于其几何维数1.——X1=(1,-1,0)T——X2=(1,-1,1)T——X3=(0,1,-1)T2.——X1=(1,1,2)T—X2=(1,1,0)T,X3=(-1,0,1)T上次课例1－3：3.代数重数2，几
6、何维数1.——X1=(0,0,1)T——X2=(1,2,-1)TA只有两个线性无关特征向量(二重特征根只对应一个线性无关特征向量)，A不可对角化。但A可与若当形矩阵相似注:设,由AP＝PJ求出a,b,c，确定P.?解:由已知，B的特征值为1-3+1=-18-6+1=327-9+1=1912第五章矩阵的特征值与特征向量解:由于特征向量是3维向量,可知A是3阶方阵,而A有3个不同的特征值,所以A可对角化,即存在可逆矩阵P,使得求方阵A13第五章矩阵的特征值与特征向量14第五章矩阵的特征值与特征向量解:15第五章矩阵的特
7、征值与特征向量16第五章矩阵的特征值与特征向量例7(00考研)若4阶矩阵A与B相似，A的特征值为相似矩阵有相同的特征值从而B－1的特征值为2,3,4,5.故B的特征值为＝12017第五章矩阵的特征值与特征向量作业：P157：7；8；11；16.18第五章矩阵的特征值与特征向量下课19第五章矩阵的特征值与特征向量
