高考数学中数列问题归类解析.doc

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1、高考数学中数列问题归类解析数列是高中数学的主要内容之一，它在每年的高考数学试题中占有相当大的比例。一般安排2～3道题目（1～2道选择或填空小题，1道解答型大题），分值20分左右，约占总分的13%。选择或填空题的难度控制在中等，学生答题时一般较容易；而在试题的后半部分安排的1道解答型大题，多为中等偏上乃至较难的题目，它们是高考数学中的热点与难点。为了复习时突破这一难点，结合新课标教材及近几年高考试题的命题趋向，针对数列在高考数学中的几个热点问题作如下归类与解析。1.求通项公式问题1.1已知数列的前n项和表达式，求数列的通项公式。（例2009年安徽卷）已知数列{an}的前n项和

2、sn=2n2+2n，求这个数列的通项公式。方法解析：由sn=2n2+2n得，当n≥2时，有sn-1=2(n-1)2+2(n-1)∴an=sn-sn-1=(2n2+2n)-［2(n-1)2+2(n-1)］=4n,n∈n*。说明：解答这类问题的关键，是充分利用前n项和表达式这一条件，再根据an=sn-sn-1这一相等关系即可解决。1.2给出已知数列的递推公式，求数列的通项公式。如果一个数列的任一项an与它的前一项an-1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就称这个数列的递推公式。利用数列的递推公式求数列的通项，是

3、历年高考数学的一个热点。解决这类问题的主要方法有累加法、累乘法、分离常数化归为等差数列和分项整理化归为等比数列等。例1:已知数列{an}满足a1=2，aa+1=an+2n，求这个数列的通项公式。方法解析：由an+1=an+2n得，an+1-an=2n，据此可写出如下等式：a2-a1=2，a3-a2=22，a4-a3=23……an-an-1=2n-1将上述等式两边分别相加得，an-a1=2+22+23+……2n-1=2（1-2n-1）1-2=2n-2∴an=a1+2n-2=2n。说明：

4、此题的解法就是利用了累加法，通过累加，使等式中的一些项抵消，巧妙地得出通项公式。例2:已知数列{an}是首项为1的正项数列，且an+1=nn+1an，求这个数列的通项公式。方法解析：由an+1=nn+1an得，an+1an=nn+1，据此可写出如下等式：a2a1=12，a3a2，a4a3=34……anan-1=n-1n将上述等式两边分别相乘得，a2a1a3a2a4a3……anan-1=122334……n-1n∴ana1=1n即an=1n。说明：此题的解法就是利用了累乘法，通过对许多等式的累乘，约去大量的因

5、式，从而简化计算过程，求出通项公式。例3：已知数列{an}满足a1=1，an+1=2an+1，求这个数列的通项公式。方法解析：由an+1=2an+1得，an+1+1=2(an+1)∵a1+1=2≠0∴an+1+1an+1=2。上式说明数列{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列∴an+1=2×2n-1即an=2n-1。说明：此题的解法就是利用了化归的数学思想方法。通过对递推公式分项整理，将所给问题化归为等比数列问题，从而使问题迎刃而解。同时也总结出一个结论：对于“an+1=xan+y(x≠0,x≠1,y≠0)”型数

6、列递推式，可以化归为等比数列：an+1+λ=x(an+λ)，其中λ=yx-1。2.求前n项和问题在高考中，由于所给的数列问题往往千变万化，可能既不是等差也不是等比数列，这就需要我们学会随机巧变，灵活转化，最终将所给的问题转化成等差或等比数列的问题来解决；或应用其他手段，化变量为常量，以多化少，以繁化简，以解决问题为目的。2.1倒序相加法。例：求1+2+3+……+100的和。方法解析：设s100是所求的和，则s100=1+2+3+……+100另一方面又有，s100=100+99+98+……+1将上述两个等式的两边分别相加得，2s100=（1+10

7、0）+（2+99）+（3+98）+……+（100+1）=100×100∴s100=101×1002=5050说明：采用倒序相加的目的，是将多个变量化成一个常量，从而有效地减少了变量的个数，使复杂问题简单化。2.2错位相减法。以课本教材为例。求首项为a1，公比为q(q≠1)的等比数列{an}的前n项和sn。方法解析：设sn为等比数列的前n项和∴sn=a1+a1q+a1q2+……+a1qn-1①将上述等式的两端分别都乘以q得qsn=a1+a1q+a1q2+……+a