异面直线所成角复习课.doc

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1、构造异面直线所成角的几种方法异面直线所成角的大小，是由空间任意一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的．准确选定角的顶点，平移直线构造三角形是解题的重要环节．本文举例归纳几种方法如下，供参考．一、抓异面直线上的已知点过一条异面直线上的已知点，引另一条直线的平行线(或作一直线并证明与另一直线平行)，往往可以作为构造异面直线所成角的试探目标．例1(2005年全国高考福建卷)如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是（）A．B．C．D．解：连B1G，则A1E∥B1G

2、，知∠B1GF就是异面直线A1E与GF所成的角．在△B1GF中，由余弦定理，得cosB1GF＝＝0，故∠B1GF＝90°，应选(D)．评注：本题是过异面直线FG上的一点G，作B1G，则A1E∥B1G，知∠B1GF就是所求的角，从而纳入三角形中解决．二、抓异面直线(或空间图形)上的特殊点考察异面直线上的已知点不凑效时，抓住特殊点(特别是中点)构造异面直线所成角是一条有效的途径.例2(2005年全国高考浙江卷)设M、N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E(如图)．现将△ADE沿DE折起，使二面角A－DE－B为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M、N的连线

3、与AE所成角的大小等于_________．解：取AE中点G,连结GM、BG∵GM∥ED，BN∥ED，GM＝ED，BN＝ED．∴GM∥BN，且GM＝BN．∴BNMG为平行四边形，∴MN//BG∵A的射影为B．∴AB⊥面BCDE．∴∠BEA＝∠BAE＝45°，又∵G为中点，∴BG⊥AE．即MN⊥AE．∴MN与AE所成角的大小等于90度．故填90°．三、平移(或构造)几何体有些问题中，整体构造或平移几何体，能简化解题过程.例3(2005年全国高考天津卷)如图，平面，且，则异面直线PB与AC所成角的正切值等于_____．解：将此多面体补成正方体，与所成的角的大小即此正方体主对角线与

4、棱所成角的大小，在Rt△PDB中，即．故填．点评：本题是将三棱柱补成正方体，从而将问题简化．异面直线练习一、选择题1．分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是（）（A）不平行的直线（B）不相交的直线（C）相交直线或平行直线（D）既不相交又不平行直线2．已知EF是异面直线a、b的共垂线，直线l∥EF，则l与a、b交点的个数为（）（A）0（B）1（C）0或1（D）0，1或23．两条异面直线的距离是（）（A）和两条异面直线都垂直相交的直线（B）和两条异面直线都垂直的直线（C）它们的公垂线夹在垂足间的线段的长（D）两条直线上任意两点间的距离4．设a,b,c是空间的三条直线，下面给出

5、三个命题：①如果a,b是异面直线，b,c是异面直线，则a,c是异面直线；②如果a,b相交，b,c也相交，则a,c相交；③如果a,b共面，b,c也共面，则a,c共面．上述命题中，真命题的个数是（）ABCSEF（A）3个（B）2个（C）1个（D）0个5．异面直线a、b成60°，直线c⊥a，则直线b与c所成的角的范围为（）（A）[30°，90°]（B）[60°，90°]（C）[30°，60°]（D）[60°，120°]6．如图:正四面体S－ABC中，如果E，F分别是SC，AB的中点，那么异面直线EF与SA所成的角等于（）（A）90°（B）45°（C）60°（D）30°ABCDD1

6、C1B1A1MN7．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（）（A）（B）（C）（D）8．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；②③CN与BM成角；④DM与BN垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（）（A）①②③（B）②④（C）③④（D）②③④9．梯形ABCD中AB//CD，AB平面α，CD平面α，则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是（）（A）平行（B）平行和异面（C）平行和相交（D）异面和相交10．在空间四边形ABCD中，E、F分别为AB、AD上

7、的点，且AE：EF＝AF：FD＝1：4，又H、G分别为BC、CD的中点，则（）（A）BD//平面EFGH且EFGH是矩形（B）EF//平面BCD且EFGH是梯形（C）HG//平面ABD且EFGH是菱形（D）HE//平面ADC且EFGH是平行四边形二、填空题11．如图，在正三角形ABC中，D、E、F分别为各边的中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点，将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥以后，GH与IJ所成角的度数为．12．在四面体ABCD中，若AC与BD成60°角，且AC＝BD＝a，则连接AB、BC