异面直线所成角问题.doc

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1、.异面直线所成角问题1．[2016·全国卷Ⅰ]平面α过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为(　　)A.B.C.D.[解析]A　在正方体ABCDA1B1C1D1外依次再作两个一样的正方体，如图所示，易知AE∥B1D1，AF∥CD1，所以平面AEF∥平面CB1D1，即平面AEF就是过点A的平面α，所以AE为平面α与平面ABCD的交线，即为m，AF为平面α与平面ABB1A1的交线，即为n，所以m，n所成角即为AE与AF所成角，也是B1D1与CD1所成角，为∠CD1B1.而△CD1B1为

2、等边三角形，因此∠CD1B1＝，所以sin∠CD1B1＝.2．三棱柱ABCA1B1C1的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，底面边长为2，高为，M是AB的中点，则直线CM与BC1所成的角等于________．答案：45°；　[解析]如图所示，取A1B1的中点N，连接C1N，MN，则C1N∥CM，所以∠BC1N即为异面直线CM与BC1所成的角，由题意易得C1N＝，BN＝，BC1＝，所以三角形BNC1为等腰直角三角形，则∠BC1N＝45°.3．[2015·浙江卷]如图所示，在三棱锥ABCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别为AD，BC的中点，则异面直线AN

3、，CM所成的角的余弦值是________．答案：　；[解析]连接ND，取ND的中点为E，则ME∥AN，则异面直线AN，CM所成的角为∠EMC.因为AN＝ND＝MC＝＝2，所以ME＝，CE＝＝，则cos∠EMC＝＝＝...4.[2016·湖南衡阳一模]如图所示，在底面为正方形的四棱锥PABCD中，PA＝PB＝PC＝PD＝AB＝2，点E为棱PA的中点，则异面直线BE与PD所成角的余弦值为________．答案：；取AD的中点F，连接EF，BF.因为E为PA的中点，所以EF∥PD，EF＝PD＝1.因为三角形PAB为等边三角形，所以BE＝.因为四边形ABCD为正方形，所以BF＝＝＝

4、，所以在三角形BEF中，由余弦定理得cos∠BEF＝＝－，所以异面直线BE与PD所成角的余弦值为.5.[2016·湖南郴州摸底]如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是线段B1C1上的动点，则异面直线AE与D1C所成的角为(　　)A．30°B．45°C．60°D．90°答案：D；[解析](1)连接AB1，AC1.∵CD1⊥B1C1，CD1⊥AB1，AB1∩B1C1＝B1，∴CD1⊥平面AB1C1.∵AE⊂平面AB1C1，∴AE⊥D1C，∴异面直线AE与D1C所成的角为90°.6.[2016·长春四模]六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，侧棱

5、垂直于底面，且侧棱长等于底面边长，则直线AE与CB1所成角的余弦值为________．答案：；[解析]连接AF1，EF1.∵CB1∥EF1，∴∠AEF1是异面直线AE与CB1所成的角．设AB＝1，则AF1＝EF1＝，AE2＝1＋1－2×1×1×cos120°＝3，即AE＝，∴cos∠AEF1＝＝＝，∴直线AE与CB1所成角的余弦值为.7．[2016·海南文昌中学期末]如图所示，已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD..的中点，若AB＝2，CD＝4，EF⊥AB，则EF与CD所成角的大小为________．答案：30°；　[解析]取AD的中点G，连接FG，EG，又E，F

6、分别为AC，BD的中点，所以FG∥AB，且FG＝1，EG∥CD，且EG＝2，所以EF与CD所成的角即为EF与EG所成的角，即∠FEG，又EF⊥AB，即∠EFG＝90°，所以∠FEG＝30°.8．[2016·衡水中学六调]如图所示，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面四边形ABCD为正方形，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成的角的余弦值为(　　)A.B.C.D.答案：D　；[解析]连接BC1，A1C1，则BC1∥AD1，∠A1BC1即为异面直线A1B与AD1所成的角，记AB＝1，则A1B＝BC1＝，A1C1＝，在三角形A1BC1中，由余弦定理得cos∠A1BC

7、1＝＝，所以异面直线A1B与AD1所成的角的余弦值为.9．[2016·浙江五校二联]如图所示，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，沿BD将△ABD翻折，得到三棱锥ABCD，则当三棱锥ABCD的体积最大时，异面直线AD与BC所成的角的余弦值为(　　)A.B.C.D.答案：B；　[解析]在平面BCD内过D作DE∥BC且DE＝BC，则∠ADE即为异面直线AD与BC所成的角或其补角，连接BE，AE，设BD的中点为O，连接AO，EO，当三棱锥ABCD的体积最大时，平面ABD⊥平面BCD，所以AO⊥EO，于是AE＝＝