【中考宝典】2020年中考数学真题分类汇编 六、圆.doc

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第六单元圆一、圆的有关概念及性质1、（2013内江）如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为（　　）A.cmB.cmC.cmD.4cm解析:连接OD，OC，作DE⊥AB于E，OF⊥AC于F，运用圆周角定理，可证得∠DOB=∠OAC，即证△AOF≌△OED，所以OE=AF=3cm，根据勾股定理，得DE=4cm，在直角三角形ADE中，根据勾股定理，可求AD的长．答案：A2．（2013温州）如图，在⊙O中，OC⊥弦AB于点C，AB=4，OC=1，则OB的长是()A.B.C.D.解析:根据垂径定理求出BC的长,再利用勾股定理求出OB.答案：B3.（2013舟山）如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB＝8，CD＝2，则EC的长为（　　）A．2B.8C.2D.2解析:先根据垂径定理求出AC的长，设⊙O的半径为r，则OC=r﹣2，由勾股定理即可得出r的值，故可得出AE的长，连接BE，由圆周角定理可知∠ABE=90°，在Rt△BCE中，根据勾股定理即可求出CE的长．答案：D4.（2013孝感）下列说法正确的是()A．平分弦的直径垂直于弦B.半圆（或直径）所对的圆周角是直角C.相等的圆心角所对的弧相等D.若两个圆有公共点，则这两个圆相交解析:平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故A选项错误；半圆或直径所对的圆周角是直角，故B选项正确；同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故C选项错误；两圆有两个公共点，两圆相交，有一个公共交点，则两圆相切,故D选项错误.答案：B5.（2013滨州）如图，已知圆心角∠BOC=78°，则圆周角∠BAC的度数是（　C　）A．156°B．78°C．39°D．12°解析：∵圆心角∠BOC和圆周角∠BAC所对的弧为，∴∠BAC=∠BOC=×78°=39°，故选C.6.（2013宜昌）如图，DC是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（　　） A．B．AF=BFC．OF=CFD．∠DBC=90°解析：根据垂径定理可判断A、B，根据圆周角定理可判断D，继而可得出答案．答案：C7.（2013绍兴）绍兴市著名的桥乡，如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8m，桥拱半径OC为5m，则水面宽AB为（　D　）A．4mB．5mC．6mD．8m解析：连接OA，根据桥拱半径OC为5m，求出OA=5m，根据CD=8m，求出OD=3m，根据AD=求出AD，最后根据AB=2AD即可得出答案．答案：D8.（2013娄底）如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点，P是优弧AB上任意一点（与A、B不重合），则∠APB=　30°　．解析：根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，即可得出答案．答案：30°9.（2013黔西南）如图所示⊙O中，已知∠BAC=∠CDA=20°，则∠ABO的度数为.解析:连接OA，根据圆周角定理可得出∠AOB的度数，再由OA=OB，可求出∠ABO的度数．答案:50°A（N）CAAAAAABAAAAAAOAAAAAA30°60°90°120°150°PEAAAAAA10.（2013兰州）如图，量角器的直径与直角三角板ABC的斜边AB重合，其中量角器0刻度线的端点N与点A重合，射线CP从CA处出发沿顺时针方向以每秒3度的速度旋转，CP与量角器的半圆弧交于点E，第24秒时，点E在量角器上对应的读数是　　度．解析:首先连接OE，由∠ACB=90°，根据圆周角定理，可得点C在⊙O上，即可得∠EOA=2∠ECA，又由∠ECA的度数是3×24=72°，继而求得答案:144．11.（2013烟台）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，连接AC交⊙O于点D，E为上一点，连结AE，BE，BE交AC于点F，且AE2=EF•EB．（1）求证：CB=CF； （2）若点E到弦AD的距离为1，cos∠C=，求⊙O的半径．解：(1)证明(2)连结OE,答案：二、点、直线、圆和圆的位置关系1.(2013岳阳）如图，⊙O的圆心在定角∠α（0°＜α＜180°）的角平分线上运动，且⊙O与∠α的两边相切，图中阴影部分的面积S关于⊙O的半径r（r＞0）变化的函数图象大致是（　　）A.B.C.D.解析:连接OB、OC、OA，∵圆O切AM于B，切AN于C，∴∠OBA=∠OCA=90°，OB=OC=r，AB=AC，∴∠BOC=360°﹣90°﹣90°﹣α=（180﹣α）°，∵AO平分∠MAN，∴∠BAO=∠CAO=α，AB=AC=，∴阴影部分的面积是：S四边形BACO﹣S扇形OBC=2×××r-=，∵r＞0，∴S与r之间是二次函数关系．故选C．2.（2013重庆）如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO=40°,则∠OCB的度数为()A.40°B.50°C.65°D.75°解析:由切线的性质可知:∠ABO=90°,∵∠BAO=40°∴∠O=50°. ∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB=65°.答案：C3.（2013凉山州）已知⊙O1和⊙O2的半径分别为2cm和3cm，圆心距O1O2为5cm，则⊙O1和⊙O2的位置关系是（　　）A．外离B．外切C．相交D．内切解析：由⊙O1与⊙O2的半径分别为2cm和3cm，且圆心距O1O2为5cm，根据两圆位置关系与圆心距d，两圆半径R，r的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系．答案：B4.（2013南京）如图，⊙O1、⊙O2的圆心O1、O2在直线l上，⊙O1的半径为2cm，⊙O2的半径为3cm，O1O2=8cm。⊙O1以1cm/s的速度沿直线l向右运动，7s后停止运动。再此过程中，⊙O1与⊙O2没有出现的位置关系是()A．外切B．相交C．内切D．内含解析:∵O1O2=8cm，⊙O1以1m/s的速度沿直线l向右运动，7s后停止运动，∴7s后两圆的圆心距为：1cm，此时两圆的半径的差为：3-2=1cm∴此时内切，∴移动过程中没有内含这种位置关系.答案：D5.（2013娄底）如图，⊙O1，⊙O2、相交于A、B两点，两圆半径分别为6cm和8cm，两圆的连心线O1O2的长为10cm，则弦AB的长为（　B　）A．4.8cmB．9.6cmC．5.6cmD．9.4cm解析:连接AO1，AO2，∵⊙O1，⊙O2相交于A、B两点，两圆半径分别为6cm和8cm，两圆的连心线O1O2的长为10cm，∴O1O2⊥AB，∴AC=AB，设O1C=x，则O2C=10﹣x，∴62﹣x2=82﹣（10﹣x）2，解得：x=3.6，∴AC2=62﹣x2=36﹣3.62=23.04，∴AC=4.8cm，∴弦AB的长为：9.6cm．答案：B6．（2013杭州）在一个圆中，给出下列命题，其中正确的是（　　）A．若圆心到两条直线的距离都等于圆的半径，则这两条直线不可能垂直B．若圆心到两条直线的距离都小于圆的半径，则这两条直线与圆一定有4个公共点　C．若两条弦所在直线不平行，则这两条弦可能在圆内有公共点　D．若两条弦平行，则这两条弦之间的距离一定小于圆的半径解析：圆心到两条直线的距离都等于圆的半径时，两条直线可能垂直，故A选项错误；当两圆经过两条直线的交点时，圆与两条直线有三个交点；两条平行弦所在直线没有交点，故C选项正确；两条平行弦之间的距离一定小于直径，但不一定小于半径,故选C． 7.（2013东营）已知⊙O1的半径r1=2，⊙O2的半径r2是方程的根，⊙O1与⊙O2的圆心距为1，那么两圆的位置关系为（　　）A．内含B．内切C．相交D．外切解析：解方程得：x=3.∵r1=2，⊙O1与⊙O2的圆心距为1，∴3﹣2=1,∴两圆内切.答案：B8.（2013黔西南州）如图所示，线段AB是⊙O上一点，∠CDB=20°，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，则∠E等于（　　）A．50°B．40°C．60°D．70°解析：连接OC，∵圆心角∠BOC与圆周角∠CDB都对弧BC，∴∠BOC=2∠CDB，又∠CDB=20°，∴∠BOC=40°，∵CE为圆O的切线，∴OC⊥CE，即∠OCE=90°，则∠E=90°﹣40°=50°．答案：A9.（2013舟山）在同一平面内，已知线段AO＝2，⊙A的半径为1，将⊙A绕点O按逆时针方向旋转60º得到的像为⊙B，则⊙A与⊙B的位置关系为　　．解析:根据旋转的性质得到△OAB为等边三角形，则AB=OA=2，而⊙A、⊙B的半径都为1，根据圆与圆的位置关系即可判断两圆的位置关系．答案：外切10.（2013菏泽）如图，BC是⊙O的直径，A是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点D，取CD的中点E，AE的延长线与BC的延长线交于点P．（1）求证：AP是⊙O的切线；（2）OC=CP，AB=6，求CD的长．（1）证明：连接AO，AC（如图）．∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC=∠CAD=90°．∵E是CD的中点，∴CE=DE=AE．∴∠ECA=∠EAC．∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA．∵CD是⊙O的切线，∴CD⊥OC．∴∠ECA+∠OCA=90°．∴∠EAC+∠OAC=90°．∴OA⊥AP．∵A是⊙O上一点，∴AP是⊙O的切线；（2）解：由（1）知OA⊥AP．在Rt△OAP中，∵∠OAP=90°，OC=CP=OA，即OP=2OA，∴sinP==，∴∠P=30°．∴∠AOP=60°．∵OC=OA，∴∠ACO=60°．在Rt△BAC中，∵∠BAC=90°，AB=6，∠ACO=60°，∴AC==2，又∵在Rt△ACD中，∠CAD=90°，∠ACD=90°﹣∠ACO=30°，∴CD===4． 11.（2013孝感）如图，△ABC内接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直径，点P是CD延长线上的一点，且AP=AC．（1）求证：PA是⊙O的切线；（2）若PD=，求⊙O的直径．（1）证明：连接OA，∵∠B=60°，∴∠AOC=2∠B=120°，又∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA=30°，又∵AP=AC，∴∠P=∠ACP=30°，∴∠OAP=∠AOC﹣∠P=90°，∴OA⊥PA，∴PA是⊙O的切线．（2）解：在Rt△OAP中，∵∠P=30°，∴PO=2OA=OD+PD，又∵OA=OD，∴PD=OA，∵，∴．∴⊙O的直径为．12.（2013山西）如图，AB为的直径，点C在⊙O上，点P是直径AB上的一点（不与A，B重合），过点P作AB的垂线交BC的延长线于点Q。（1）在线段PQ上取一点D，使DQ=DC，连接DC，试判断CD与⊙O的位置关系，并说明理由。（2）若cosB=，BP=6，AP=1，求QC的长.解：（1）CD是⊙O的切线,理由如下：连接OC,∵OC=OB,∴∠B=∠1.又∵DC=DQ,∴∠Q=∠2.∵PQ⊥AB,∴∠QPB=90°∴∠B+∠Q=90°.∴∠1+∠2=90°∴∠DCO=∠QCB-(∠1+∠2)=180°-90°,∴OC⊥DC,∵OC是⊙O的半径,∴CD是⊙O的切线.(2)连接AC,∵AB是⊙O的直径,∴∠ACB=90°.在Rt△ABC中,BC=ABcosB=(AP+BP)cosB=(1+6)×=.在Rt△BPQ中,BQ==10,∴QC=BQ-BC=10==OAB三、和圆有关的计算1.（2013济南）如图，扇形AOB的半径为1，∠AOB=90°，以AB为直径画半圆．则图中阴影部分的面积为()A．B．C．D．解析:利用扇形公式计算出半圆的面积和扇形AOB的面积，然后求出△AOB的面积， 用S半圆+S△AOB-S扇形AOB可求出阴影部分的面积．答案：C罐头横截面2．（2013舟山）如图，某厂生产横截面直径为7cm的圆柱形罐头，需将“蘑菇罐头”字样贴在罐头侧面．为了获得较佳视觉效果，字样在罐头侧面所形成的弧的度数为30º，则“蘑菇罐头”字样的长度为（　B　）A．cmB.cmC.cmD.7πcm解析:根据题意得出圆的半径，及弧所对的圆心角，代入公式计算即可．答案：B3.（2013绍兴）若圆锥的轴截面为等边三角形，则称此圆锥为正圆锥，则正圆锥侧面展开图的圆心角是（）A.90°B.120°C.150°D.180°答案：D4.（2013荆门）若圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的母线与底面半径的关系是()A．B．C．D．解析:根据圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面圆的周长，扇形的半径为圆锥的母线长有2π•r=π•，即可得到r与l的比值．答案：A5.（2013泰安）如图，AB，CD是⊙O的两条互相垂直的直径，点O1，O2，O3，O4分别是OA、OB、OC、OD的中点，若⊙O的半径为2，则阴影部分的面积为（　　）A．8B．4C．4π+4D．4π﹣4解析:如图所示：可得正方形EFMN，边长为2，正方形中两部分阴影面积为：4﹣π，∴正方形内空白面积为：4﹣2（4﹣π）=2π﹣4，∵⊙O的半径为2，∴O1，O2，O3，O4的半径为1，∴小圆的面积为：π×12=π，扇形COB的面积为：=π，∴扇形COB中两空白面积相等，∴阴影部分的面积为：π×22﹣2（2π﹣4）=8．答案：A6.（2013河北）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∠C=30°，CD=2.则S阴影=（）A．πB．2πC．D．π解析：∠AOD＝2∠C＝60°，可证：△EAC≌△ EOD，因此阴影部分的面积就是扇形AOD的面积，半径OD＝2，S扇形AOD＝＝π.答案：D7.（2013衢州）如图，将一块三角板和半圆形量角器按图中方式叠放，三角板一边与量角器的零刻度线所在直线重合，重叠部分的量角器弧（）对应的圆心角（∠AOB）为120°，OC的长为2cm，则三角板和量角器重叠部分的面积为　　cm．解析:∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，在Rt△OBC中，OC=2cm，∠BOC=60°，∴∠OBC=30°，∴OB=4cm，BC=2cm，则S扇形OAB==，S△OBC=OC×BC=2，故S重叠=S扇形OAB+S△OBC=+2．答案:+28.（2013•泸州）如图，从半径为9cm的圆形纸片上剪去圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥（接缝处不重叠），那么这个圆锥的高为　　cm．解析：首先求得扇形的弧长，即圆锥的底面周长，则底面半径即可求得，然后利用勾股定理即可求得圆锥的高．答案:3　9.（2013杭州）四边形ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB⊥BC，且BC=CD=2，AB=3，把梯形ABCD分别绕直线AB，CD旋转一周，所得几何体的表面积分别为S1，S2，则|S1﹣S2|=（平方单位）.解析：AB旋转一周形成的圆柱的侧面的面积是：2π×2×3=12π；AC旋转一周形成的圆柱的侧面的面积是：2π×2×2=8π，则|S1﹣S2|=4π．答案：4π．10.（2013•徐州）已知扇形的圆心角为120°，弧长为10πcm，则扇形的半径为　　cm．解析：扇形的弧长公式是L==，解得：r=15．答案：1511.（2013乐山）如图，小方格都是边长为1的正方形。则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为　。解析：如图，连结AB，则根据轴对称和旋转对称的性质，从图中可知： 阴影部分面积=2（S扇形ACB－S△ABO）=答案：12.（2013广东）如图,三个小正方形的边长都为1,则图中阴影部分面积的和是__________(结果保留).解析：将左下阴影部分对称移到右上角，则阴影部分面积的和为：S＝＋＝。答案：13.（2013济宁）如图，△ABC和△A′B′C是两个完全重合的直角三角板，∠B=30°，斜边长为10cm．三角板A′B′C绕直角顶点C顺时针旋转，当点A′落在AB边上时，CA′旋转所构成的扇形的弧长为cm．解析：根据Rt△ABC中的30°角所对的直角边是斜边的一半、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及旋转的性质推知△AA′C是等边三角形，所以根据等边三角形的性质利用弧长公式来求CA′旋转所构成的扇形的弧长．答案：14.（2013钦州）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，O是BC边上一点，以O为圆心的半圆与AB边相切于点D，与AC、BC边分别交于点E、F、G，连接OD，已知BD=2，AE=3，tan∠BOD=．（1）求⊙O的半径OD；（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）求图中两部分阴影面积的和．解：（1）∵AB与圆O相切，∴OD⊥AB，在Rt△BDO中，BD=2，tan∠BOD==，∴OD=3；（2）连接OE，∵AE=OD=3，AE∥OD，∴四边形AEOD为平行四边形，∴AD∥EO，∵DA⊥AE，∴OE⊥AC，又∵OE为圆的半径，∴AC为圆O的切线；（3）∵OD∥AC，∴=，即=，∴AC=7.5，∴EC=AC﹣AE=7.5﹣3=4.5，∴S阴影=S△BDO+S△OEC﹣S扇形BOD﹣S扇形EOG=×2×3+×3×4.5﹣ =3+﹣=．15.（2013雅安）如图，AB是⊙O的直径，BC为⊙O的切线，D为⊙O上的一点，CD=CB，延长CD交BA的延长线于点E．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若BD的弦心距OF=1，∠ABD=30°，求图中阴影部分的面积．（结果保留π）解析：（1）证明：连接OD，∵BC是⊙O的切线，∴∠ABC=90°，∵CD=CB，∴∠CBD=∠CDB，[来源:Z_xx_k.Com]∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∴∠ODC=∠ABC=90°，即OD⊥CD，∵点D在⊙O上，∴CD为⊙O的切线；（2）解：在Rt△OBF中，∵∠ABD=30°，OF=1，∴∠BOF=60°，OB=2，BF=，∵OF⊥BD，∴BD=2BF=2，∠BOD=2∠BOF=120°，∴S阴影=S扇形OBD﹣S△BOD=﹣×2×1=π﹣．